caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts

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caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts

Messagepar paspythagore » Vendredi 04 Octobre 2013, 22:12

Bonjour.
J'ai quelques questions sur la caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts et de fermés.
Soit $(X,d)$ un espace métrique, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1) Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts de $X$ recouvrant $X$, c'est à dire telle que :

$$X=\ds\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda;$$


on peut extraire un sous-recouvrement fini, c'est à dire qu'il existe une famille finie $(\lambda_j)_{1\leq j\leq N}$ telle que :

$$X=\ds\bigcup_{j=1}^N U_{\lambda_j}.$$


2) Pour toute famille de fermés $(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$, on a :

$$\forall N, \forall\lamda_1,\cdots,\lambda_N)\in\Lambda^N, \ds\bigcap^N_{j=1}F_{\lambda_j}\neq\varnothing\Longrightarrow\ds\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\varnothing.$$


3) Toute suite d'éléments de $X$ admet une valeur d'adhérence.

Je comprends mal le 1). Si notre compact $X$ est un fermé, comment peut il être recouvert par une famille d'ouverts inclus dans $X$ ?
Je ne comprends pas non plus ce que veut dire le 2).

Merci de votre aide.
paspythagore
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Re: caractérisation des espaces compacts en termes d'ouverts

Messagepar balf » Vendredi 04 Octobre 2013, 23:36

X (l'espace métrique ambiant) est à la fois ouvert et fermé. Il ne s'agit pas ici de X considéré comme plongé dans un autre espace et, de toute façon, s'il est plongé dans un autre espace, il s'agit des ouverts de X, qui ne sont alors que les traces sur X des ouverts de l'espace dans lequel il est plongé.

Pour le point 2, il signifie simplement que si une famille de fermés, possiblement infinie, a la propriété de l'intersection finie (toute sous-famille finie a une intersection non vide), alors cette famille a une intersection non vide. Pour exemple, on peut prendre la suite d'intervalles fermés de R [π – 1/n , π + 1/n ] : comme elle est décroissante pour l'inclusion, elle possède évidemment la propriété de l'intersection finie, et l'intersection de tous les fermés de la suite est simplement {π}.

Toutefois, si l'on prend la trace de ces intervalles sur Q, il s'agit bien de fermés de Q, qui possèdent encore la propriété de l'intersection finie, parce que Q est dense dans R. Mais l'intersection de tous ces intervalles de Q est évidemment vide puisque π est irrationnel (et même transcendant…).

B.A.
balf
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