Calculer un vecteur propre...

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Calculer un vecteur propre...

Messagepar FiReTiTi » Jeudi 14 Décembre 2006, 15:45

Bonjour,

je souhaites calculer les vecteurs propres d'une matrice M 3x3.
- J'ai commencé par résoudre le système : $det(M-\lambda I)=0$.
- J'ai obtenu trois valeurs propres (réelles, complexes ou les deux) que l'on notera$\mu$.
- Ensuite je veux les vecteurs propres $X$ issuent des valeurs propres réelles, donc pour chacune de mes valeurs propres, je souhaites résoudre : $(M-\mu I)X=0$
- Mais que je le fasse à la main ou avec Maple, je trouve toujours le vecteur nul.

Questions :
- est ce que tout ceci est correcte ?
- quelle est l'astuce pour ne pas trouver le vecteur nul ???


Merci par avance...
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Messagepar Fabcat » Jeudi 14 Décembre 2006, 15:48

Attention, le vecteur nul est évidemment solution (l'ensemble des vecteurs propres associé à une valeur propre fixée est un sous-espace vectoriel et contient donc $\vect{0}$) mais ce n'est aucun doute pas la seule !!
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Messagepar nirosis » Jeudi 14 Décembre 2006, 18:12

Impossible.
Le ss espace propre est au moins de dimension 1 !

Fais la méthode du pivot de gauss, et tu verras apparaître 2 lignes identiques voire 3 lignes identiques.

Si tu as 2 lignes identiques, alors tu peux écrire les solutions avec un paramètre libre.
Si tu en as 3, tu auras 2 paramètres libres.
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Messagepar Tryphon » Jeudi 14 Décembre 2006, 21:34

Autrement dit, si tu trouves 0 comme seul vecteur propre, c'est soit que tu t'es planté dans ta recherche de vecteur propre, soit que tu t'étais planté avant dans la détermination des valeurs propres.
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Messagepar kilébo » Jeudi 14 Décembre 2006, 22:01

Pour être précis, j'ajouterais que le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre (Par définition un vecteur propre est non nul). Par contre, comme l'a indiqué les différents intervenants, le vecteur nul est toujours inclus dans chacun des sous-espaces propres (et c'est même le seul vecteur dans l'intersection des sous-espaces propres car les sous-espaces propres sont en somme directe).
Dernière édition par kilébo le Jeudi 14 Décembre 2006, 22:06, édité 1 fois.
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Messagepar Tryphon » Jeudi 14 Décembre 2006, 22:05

kilébo a écrit:Pour être précis, j'ajouterais que le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre (Par définition un vecteur propre est non nul).


Je méaculpe
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