Calcul matriciel

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Calcul matriciel

Messagepar toto50 » Jeudi 20 Octobre 2005, 18:46

Bonsoir,

Merci de m'aider pour la résolution de ces exercices, en faisant les références au cours.

Soit M2 l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coéfficients réels. Si A est un élément de M2, on dire que Landa est valeur propre de A et Y = ( y1, y2) un vecteur propre associé si le triplet ( A,Y, Landa ) vérifie Y Différent de (0,0) et AY = Landa Y.

On désigne par P le polynome défini par P(X) = X2 + X + 1

1) Montrer que P n'admet pas de racines

2) On désigne par G l'ensemble des matrices A de M2 vérifiant P(A) = O où O désigne la matrice de M dont les coefficients sont tous nuls.

a) Montrer que si A appartient G et ( landa, Y ) désigne un couple valeur propre et vecteur propre associé de A alors Landa est solution de l'équation P( Landa ) = 0

On note ( Aij)ij = 1,2 les coefficients de la matrice A dans la base naturelle (e1,e2) de M2 et on désigne par f l'application par.

f'e1)= a11e1 + a12e2 et f(e2) = a21e1 + a22e2

NB : f est appelé application linéaire associé à la matrice A de G

b) Montrer que pour tout x appartenant à M2 - ( 0 ), ( x,f(x)) est une base de M2 puis déterminer la matrice A de cette base.

3) On désigne par D la matrice de A dans la base (x,f(x)). Montrer que P(D)=O

4) Montrer que, pour tout E appartenant à G, il existe une matrice N inversible ( N appartenant à M2 ) telle que E = NDN-1

5) Question subsidiaire pour mon information personnelle, est ce que cet exercice fait partie du programme de maths sup ou non ?

Merci pour votre aide.
toto50
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Re: calcul matriciel

Messagepar maskou » Jeudi 20 Octobre 2005, 19:33

toto50 a écrit:
5) Question subsidiaire pour mon information personnelle, est ce que cet exercice fait partie du programme de maths sup ou non ?




Cet exercice introduit les notions de valeurs propres, vecteurs propres d'une application linéaire, parle de polynôme annulateur de ton application: oui, non seulement c'est au programme de math sup, mais c'est même la base de l'algèbre linéaire.

je t'invite a déja bien réfléchir sur cet exercice, notament sur le lien qu'on peut faire entre matrices applications linéaires, ce qui se passe quand on change de base, et pourquoi une base de vecteurs propres peut s'avérer très intéressante.

Ton exercice se place dans $\mathcal{M}_2(\R)$, ce qui simplifie calculs et notations: idéal pour se dépatouiller un peu avec ces notions et entrevoir de quoi il s'agit.

J'ajouterai que t'aider à résoudre cet exercice avant que tu l'ai un peu mûri n'est pas t'aider en réalité: personnellement je t'apporterai des éléments de réponses avec un délai pour que tu "planches" un peu (si si c'est pour ton bien :lol: ).
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Re: calcul matriciel

Messagepar P.Fradin » Jeudi 20 Octobre 2005, 20:37

maskou a écrit:
toto50 a écrit:
5) Question subsidiaire pour mon information personnelle, est ce que cet exercice fait partie du programme de maths sup ou non ?




Cet exercice introduit les notions de valeurs propres, vecteurs propres d'une application linéaire, parle de polynôme annulateur de ton application: oui, non seulement c'est au programme de math sup, ...


Non, non, ce n'est plus au programme de math sup, depuis... un certain temps déjà, mais au programme de math spé. Ceci dit, rien empêche de faire ce type d'exercice en sup à condition de donner les définitions. Cela fait partie des exercices basiques que l'on trouve (corrigés) dans tout les bons bouquins... Et il me semble qu'il est hautement préférable de regarder de TRES PRES dans tous les bouquins avant de poster ce type d'exos sur un forum, c'est un peu trop facile sinon (cela n'engage que moi).
P.Fradin
 

Messagepar Ash'Ka » Jeudi 20 Octobre 2005, 20:47

1) $P$ a des racines dans $\C$, il faut préciser si $P\in \R[X]$ ou $P \in \C[X]$. Danc ce contexte on devine que c'est dans $\R$ mais bon...

2)a)Il suffit s'écrite : Soit $(\lambda,X)$ un couple valeur-propre, vecteur-propre

$\begin{equation*} \begin{aligned} A^2 + A + I = 0 & \Longrightarrow A^2(X) + A(X) + X = 0\\ & \Longrightarrow \lambda^2X + \lambda X + X = 0 \end{aligned} \end{equation}$
... A toi de conclure
b) Si $(x,f(x))$ est libre, alors c'est fini

3)L'annulation du polynome ne dépend pas de la base choisit. Ecrit les formules de changement de base : $D = P^{-1}AP$ d'où $D^2 = P^{-1}A^2P$ et $I = P^{-1}P$... A toi de jouer.
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