Calcul de résidus

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Calcul de résidus

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Juin 2013, 20:41

Bonjour.
Je ne comprends cette méthode de calcul de résidu.
Calculer le résidu de la fonction $f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-a)^k}$ avec $g$ holomorphe, $g(a)\neq0$ et $k\geq2$

$Res(a,f)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{C(a,\epsilon)}\dfrac{g(z)}{(z-a)^k}dz=\dfrac{g^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}$
$=\ds\lim_{z\to a}\dfrac{1}{(k-1)!}\dfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}(z-a)^kf(z)$

Si quelqu'un se sent le courage de m'expliquer cela pas à pas, cela me ferait un grand plaisir.
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Re: Calcul de résidus

Messagepar balf » Dimanche 09 Juin 2013, 21:57

La première égalité résulte de la définition du résidu : le coefficient a₋₁ du développement de Laurent, qui se calcule par l'intégrale indiquée. D'autre part, le développement de Laurent de f(z) se déduit du développement de Taylor de g(z), d'où la deuxième égalité. Pour la dernière, c'est simplement que, si z ≠ a, (z — a)$\mathsf{^k}$f(z) = g(z).

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Re: Calcul de résidus

Messagepar paspythagore » Lundi 10 Juin 2013, 18:01

Merci.

Je reste coincé sur ce morceau : $\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{C(a,\epsilon)}\dfrac{g(z)}{(z-a)^k}dz=\dfrac{g^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}$

$g(z)=\ds\sum_{k=0}^n\dfrac{g^{(k)}(a)}{k!}(z-a)^k$ et après , je ne sais plus...
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Re: Calcul de résidus

Messagepar balf » Lundi 10 Juin 2013, 18:20

Quel est le coefficient du terme en 1/(z — a) dans le développement de g(z)/(z — a)$^{\mathsf k}$ ?

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Re: Calcul de résidus

Messagepar paspythagore » Lundi 10 Juin 2013, 20:24

Le coefficient du terme en 1/(z — a) dans le développement de g(z)/(z — a)$^{\mathsf k}$, c'est le résidu de $f$ en $a$. On cherche $n$ tel que $\dfrac{(z-a)^n}{(z-a)^k}=\dfrac{1}{z-a}$, c'est $k-1$.
Le coefficient recherché est $\dfrac{g^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}$
Je n'ai pas encore assimilé.
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Re: Calcul de résidus

Messagepar balf » Lundi 10 Juin 2013, 21:08

Mais d'autre part, c'est aussi $\displaystyle\mathsf{\dfrac{1}{2i\pi}\int_C \dfrac{g(z)}{(z-a)^k}dz}$.

B.A.
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