calcul de différentielles

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calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Lundi 04 Novembre 2013, 21:41

Bonjour.
Je ne comprends cet exercice.
énoncé : Soit $E$ un espace de Banach.
a) Montrer que $\forall k\in\N, F_k:\mathcal{L}(E)\to\mathcal{L}(E), X\mapsto X^k$ est différentiable et calculer $dF_k$.

corrigé : $F_k$ est la composée $F_k=\alpha\circ\beta$

$$\beta:\mathcal{L}(E)\to\mathcal{L}(E)^k,X\mapsto(X,\cdots,X)$$


et :

$$\alpha : \mathcal{L}(E)^k\to\mathcal{L}(E),(X_1,\cdots, X_k)\mapsto X_1\cdots X_k$$


On munit $\mathcal{L}(E)^k$ de la norme $\Vert(X_1,\cdots,X_k)\Vert=Max\{\Vert X_1\Vert,\cdots,\Vert X_k\Vert\}$ (qui définit la topologie produit sur $\mathcal{L}(E)^k$).

Or $\beta $ est linéaire. Elle est aussi continue puisque pour tout $X\in\mathcal{L}(E)$ :

$$\Vert\beta(X)\Vert=\Vert(X,\cdots,X)\Vert=\VertX\Vert\leq\Vert X\Vert.$$


De plus, $\alpha$ est multilinéaire. elle est continue puisque pour tout $(X_1,\cdots,X_k)\in\mathcal{L}(E)^k$,

$$\Vert\alpha(X_1,\cdots,X_k)\Vert=\Vert (X_1\cdots X_k)\Vert\leq\Vert X_1\Vert\cdots\Vert X_k\Vert.$$



On en déduit que $\alpha$ et $\beta$ sont différentiables de classes $C^\infty$ et que $F_k$ aussi. Sa différentielle s'écrit...

Je ne voie pas les hypothèses de quel théorème on recherche pour montrer que $F_k$ est différentiable.
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Minibob59 » Lundi 04 Novembre 2013, 22:56

Bonsoir !

On utilise le fait qu'une application linéaire est toujours différentiable et égale à sa différentielle (évident : $f(a+h) = f(a) + f(h)$ si $f$ est linéaire, donc par unicité de la différentielle, $\mathrm{d}f = f$).
Il doit être assez simple de se convaincre qu'une application multilinéaire est toujours différentiable aussi...
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Mardi 05 Novembre 2013, 18:27

Oui merci.

:oops: Dit comme ça, évidemment, la différentielle d'une application linéaire c'est elle-même. Comme ça n'était pas dans les propriétés et que je n'ai pas fait le rapprochement entre l'approximation linéaire continue et l'application linéaire continue...
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Mardi 05 Novembre 2013, 21:39

Bonsoir.
J'ai des difficultés pour calculer la différentielle suivante.
Enoncé : Montrer $G_k:GL(E)\to GL(E), X\mapsto X^{-1}$ est différentiable et calculer $dG_k$.

On part d'applications linéaires, on est maintenant dans l'espace des matrices inversibles.
Correction du calcul : $G_k=\Phi\circ F_k$ avec $\Phi:u\mapsto u^{-1}, d\Phi:u\mapsto -u^{-2}$

$\forall X\in GL(E),dG_k(X)=d\Phi(F_k(X))\circ dF_k(X)$

$\forall H\in L(E), dG_k(X)(H) =d\Phi(F_k(X))(dF_k(X)(H))$
$=d\Phi(X^k)(dF_k(X)(H))$
$=-X^{-k}dF_k(X)(H)X^{-k}$
$=-X^{-k}(HX^{k-1})X^{-1}-X^{-k}(XHX^{k-2})X^{-k}-$ $\cdots-X^{-k}(X^{k-1}H)X^{-k}$
$=-X^{-k}HX^{-1}-X^{-k+1}HX^{-2}-\cdots-X^{-1}HX^{-k}$

Je ne comprends pas le calcul.
Comment se calcule $d\Phi(X)$. s'agissant de matrice, je ne peux écrire $(X+H)^{-1}-X^{-1}=\dfrac{X-X-H}{(X+H)X}$

Je ne comprends pas du tout le : $d\Phi(X^k)(dF_k(X)(H))=-X^{-k}dF_k(X)(H)X^{-k}$
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Minibob59 » Mardi 05 Novembre 2013, 22:40

Effectivement, il semble qu'il y ait un problème. Si on considère $\Phi : GL(E) \to GL(E), X \mapsto X^{-1}$, qui est un homéomorphisme, on peut montrer que $\Phi$ est différentiable sur $GL(E)$, mais je pense que la différentielle proposée est fausse... Pour moi :

$$\forall X \in GL(E) \quad \forall H \in \mathcal{L}(E) \quad \mathrm{d}\Phi (X)(H) = -X^{-1}HX^{-1}$$


ce qui peut se deviner lorsque l'on travaille en dimension 1.

De ce fait, je ne comprends pas non plus le calcul qui t'es proposé en corrigé... Je tâcherai d'y réfléchir demain...

Sinon pour la démonstration de la différentielle de l'inversion, on utilise (de mémoire) le développement en série de $(X+H)^{-1}$ (cf. un autre de tes posts d'il y a peu ^^). Pour le cas plus général $X^{-k}$, on peut éventuellement envisager une démonstration du même type, avec une série entière (série du binôme). L'idée d'utiliser des composées de fonctions différentiables simples est astucieuse, mais je trouve qu'on comprend un peu moins bien ce qu'on fait. Le mieux étant de maîtriser plusieurs démonstrations différentes pour cerner au mieux la notion... :p

Juste une remarque pour finir : apparemment tu fais du calcul différentiel dans un Banach, mais pour ma part, je n'en ai fait que dans $\mathbb{R}^n^$ (ou tout espace réel de dimension finie), donc certaines propriétés ne sont peut-être (sûrement) plus vraies dans ton cadre d'étude...
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Mardi 05 Novembre 2013, 22:58

Merci.
Je recommence aussi demain.
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Minibob59 » Mercredi 06 Novembre 2013, 17:02

Bonjour !

Tout d'abord, on oublie l'idée de la série du binôme pour le cas général : il n'y a pas commutativité en général des éléments que l'on manipule !

Par contre, je confirme que :

$$\forall X \in GL(E) \quad \forall H \in \mathcal{L}(E) \quad \mathrm{d}\Phi (X)(H) = -X^{-1}HX^{-1}$$

se démontre à l'aide du développement en série entière de $(\mathrm{Id} + X^{-1}H)^{-1}$.

J'ai donc repris l'idée de la composition des applications. Il faut donc connaître la différentielle en $X \in GL(E)$ de $F_k$ et celle de $G_1$.
Après calculs, je trouve ceci :

$$\forall k \in \mathbb{N}^* \quad \forall X \in GL(E) \quad \forall H \in \mathcal{L}(E)$$

$$\mathrm{d}G_k(X)(H) = -X^{-k} \left( \sum_{i=1}^{k} X_1 \cdots H_i \cdots X_k \right) X^{-k} $$


Tu trouves quelque chose comme ça ou bien je ne sais plus du tout différencier des composées et faire des calculs algébriques ? (ce qui est probable... ^^).
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Mercredi 06 Novembre 2013, 19:16

Bonsoir.
La solution proposée dans mon cours est celle ci :
Correction du calcul : $G_k=\Phi\circ F_k$ avec $\Phi:u\mapsto u^{-1}$.

$\forall X\in GL(E),dG_k(X)=d\Phi(F_k(X))\circ dF_k(X)$

$\forall H\in L(E), dG_k(X)(H) =d\Phi(F_k(X))(dF_k(X)(H))$
$=d\Phi(X^k)(dF_k(X)(H))$
$=-X^{-k}dF_k(X)(H)X^{-k}$
$=-X^{-k}(HX^{k-1})X^{-1}-X^{-k}(XHX^{k-2})X^{-k}-$ $\cdots-X^{-k}(X^{k-1}H)X^{-k}$
$=-X^{-k}HX^{-1}-X^{-k+1}HX^{-2}-\cdots-X^{-1}HX^{-k}$

Je relis ton message encore une fois.
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Mercredi 06 Novembre 2013, 21:06

Wikipédia donne une seconde méthode pour calculer la différentielle de l'inverse d'une matrice :
L'identité $\text{inv}(A)\ \cdot\ A=I_n$
donne, par différentiation, $(D \text{inv})_A(H)\ \cdot\ A+\text{inv}(A)\ \cdot\ H=0,$
d'où $(D \text{inv})_A(H)=-\text{inv}(A)\ \cdot\ H\ \cdot A^{-1}.$
C'est cela, je pense, que je ne comprends pas comment arrive t-on au premier terme de la deuxième ligne.
$D(\text{inv}(A)\ \cdot\ A)=...$ ?
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Minibob59 » Mercredi 06 Novembre 2013, 22:29

Il s'agit ici d'une méthode astucieuse pour arriver au résultat : on utilise la différentielle d'un produit. Si on note $f : X \mapsto X^{-1}$, et $P : GL(E) \to GL(E), X \mapsto X$ (ie, l'identité de $GL(E)$ et non l'identité de $E$ que l'on note $\mathrm{Id}$), on a :

$$\forall X \in GL(E) \quad f(X) \times P(X) = \mathrm{Id}$$

d'où en différentiant :

$$\forall X \in GL(E) \quad \mathrm{d}f(X) \times P(X) + f(X) \times \mathrm{d}P(X) = 0$$

Or, $\mathrm{d}P(X) = P$ car c'est une application linéaire !

$$\forall X \in GL(E)  \quad \forall H \in \mathcal{L}(E) \quad \mathrm{d}f(X)(H) \times X + f(X) \times H = 0$$

d'où le résultat en postmultipliant par $f(X) = X^{-1}$ dans l'égalité.

Est-ce plus clair comme ça ? :)
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Mercredi 06 Novembre 2013, 22:53

Non désolé.
Pourquoi $f : X \mapsto X^{-1}$ n'est pas de $ GL(E) \to GL(E)$
Lorsqu'on écrit $\text{inv}(A)\ \cdot\ A=I_n$, il n'y a là que des matrices, l'inverse de $A$, $A$ et $Id$ ?
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Tonn83 » Mercredi 06 Novembre 2013, 23:38

paspythagore a écrit:L'identité $\text{inv}(A)\ \cdot\ A=I_n$
donne, par différentiation, $(D \text{inv})_A(H)\ \cdot\ A+\text{inv}(A)\ \cdot\ H=0,$

Calcul correct mais il faut démontrer avant pourquoi la fonction inverse est différentiable. Pour une matrice inversible $A$, les coefficients de son inverse s'expriment comme des fractions rationnelles en les coefficients de A (formule de la comatrice) : on peut donc facilement démontrer en dimension finie que $\text{inv}$ est différentiable. Mais cet argument ne se généralise pas en dimension infinie.

Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace normé complet, soit $f\in GL(E)$ et $g\in\mathcal{L}(E)$ suffisamment petit tels que $f+g\in GL(E)$. Par linéarité,
$\text{id}=(f+g)^{-1}\circ (f+g)=(f+g)^{-1}\circ f+(f+g)^{-1}\circ g$ donc $(f+g)^{-1}-\left(f^{-1}-(f+g)^{-1}\circ g\circ f^{-1}\right)=0$.

Par conséquent,
$(f+g)^{-1}-\left(f^{-1}-f^{-1}\circ g\circ f^{-1}\right)=\left(f^{-1}-(f+g)^{-1}\right)\circ g\circ f^{-1}$

Par sous-multiplicativité,
$\|(f+g)^{-1}-\left(f^{-1}-f^{-1}\circ g\circ f^{-1}\right) \|\leq \|f^{-1}-(f+g)^{-1}\|\|g\|\|f^{-1}\|$

A partir de là, il est facile de conclure...
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Minibob59 » Mercredi 06 Novembre 2013, 23:41

Je reconnais que je n'ai pas été des plus clairs sur les définitions :
$\mathrm{Id}$ est une application de $E$ dans $E$, donc un élément de $\mathcal{L}(E)$ (et même de $GL(E)$).
$P$ est une application de $GL(E)$ dans $GL(E)$, et même un élément de $\mathcal{L}(\mathcal{L}(E))$.
$f$ est également une application de $GL(E)$ dans $GL(E)$.

Dans la première ligne de mon calcul, on n'a que des matrices, en effet : $f(X)$, $P(X)$ et $\mathrm{Id}$.

En fait, essaie peut-être de reprendre le calcul en raisonnant dans $F = \mathcal{L}(E)$ sans considérer que les éléments de $F$ sont des matrices...

Je complète le commentaire de Tonn83 en rajoutant que ce calcul ne permt que de trouver la valeur de la différentielle de l'inversion sans montrer son existence...
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Jeudi 07 Novembre 2013, 21:35

Oui effectivement, il faut démontrer l'existence.
Ce sur quoi je bloque c'est le calcul et sur le fait de savoir dans quel espace on se trouve.

Une première question nous donne : $F_k:L(E)\to L(E),\ X\mapsto X^k$ et nous demande de chercher $DF_k(X)$

Ce qui me gène c'est la question suivante où on nous donne maintenant : $G_k:GL(E)\mapsto GL(E), \ X\mapsto X^{-k}$

Dans la solution qui m'est proposée, on considère $\Phi:u\mapsto u^{-1}$

Dans quels espaces ? $GL(E)\to GL(E)$ ?

Le théorème sur la différentielle de la composée donne : $D(\Phi\circ F_k)(A)(H)=D\Pji(F_k(A))(H)\circ DF_k(A)(H)$

Je viens de me rendre compte que la différentielle d'une matrice inversible, c'est simplement :
$D(A)(H)=A+H-A=H$

Pour calculer la différentielle de l'inverse d'une matrice.
$A^{-1}\cdot A=Id$
$D(A^{-1}\cdot A)(H)=0$
$D(A^{-1}(H)A+A^{-1}D(A)(H)=0$
$D(A^{-1}(H)A=-A^{-1}H$
$D(A^{-1})(H)=-A^{-1}HA^{-1}$

Et donc :
$D\Phi(X^k)(DF_k(X)(H))=-X^{-k}DF_k(X)(H)X^{-k}$

Je ne sais pas ce qui nous autorise à passer de l'avant dernier résultat au dernier.
$A\in GL(E)$ et $X^k\in GL(E)$ ?
$H\in GL(E)$ et $DF_k(X)(H)\in GL(E)$ ?
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Tonn83 » Vendredi 08 Novembre 2013, 11:32

L'espace vectoriel est l'espace $\mathcal{L}(E)$ des applications linéaires continues $E\to E$. Il est muni de la norme d'opérateur associée à la norme $\|\cdot\|$ sur $E$. L'ensemble $GL(E)$ est un ouvert de $\mathcal{L}(E)$ (admis ou voir l'une de vos questions antérieures). L'application inverse $\Phi:u\mapsto u^{-1}$ est définie et à valeurs dans $GL(E)$.
paspythagore a écrit:Le théorème sur la différentielle de la composée donne : $D(\Phi\circ F_k)(A)(H)=D\Pji(F_k(A))(H)\circ DF_k(A)(H)$

Non !
$D(\Phi\circ F_k)(A)=D\Phi\left[F_k(A)\right]\circ DF_k(A)$

Je viens de me rendre compte que la différentielle d'une matrice inversible, c'est simplement :
$D(A)(H)=A+H-A=H$ [...] $D(A^{-1})(H)=-A^{-1}HA^{-1}$

  • Tout d'abord, nous ne sommes pas forcément en dimension finie. Les résultats que vous cherchez à redémontrer sont valables en dimension infinie comme en dimension finie.
  • Ensuite, dans vos notations, il y a de grosses confusions. Effectivement, toute application linéaire continue est différentiable. Mais c'est l'applicaton inverse $f\mapsto f^{-1}$ dont on souhaite calculer la différentielle et non l'application linéaire $f^{-1}$. En clair, vous confondez $D\Phi(f)$ et $D\left(\Phi(f)\right)$. Vous pouvez noter $D_f\Phi$ la différentielle de $\Phi$, si toutefois elle existe, en $f$. Auquel cas on écrira : $D_f\left(\Phi\circ F_k\right)=D_{F_k(f)}\Phi\circ D_fF_k$.
  • De plus vous ne justifiez toujours pas pourquoi l'application inverse est différentiable. Ce dernier point bien qu'important, peut être laissé de côté dans un premier temps !
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Tonn83 » Vendredi 08 Novembre 2013, 11:45

$F_k$ désigne l'application $F_k:\mathcal{L}(E)\to\mathcal{L}(E)$ donnée par $F_k(f)=f^k$. Je vais vous expliquer comment procéder pour $k=2$. Par simple développement, pour toute application linéaire $f,g:E\to E$,
$(f+g)\circ (f+g)=f\circ f+f\circ g+g\circ f+g\circ g\, .$

Si $f$ et $g$ sont continues, par sous-multiplicativité de la norme d'opérateur,
$\|(f+g)\circ (f+g)-f\circ f-f\circ g-g\circ f\|=\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$
Par le théorème des gendarmes de Saint Tropez, ce calcul prouve que
$\displaystyle\lim_{\|g\|\to 0} \frac{\displaystyle\|\Phi_2(f+g)-\left(\Phi_2(f)+f\circ g+g\circ f\right)\|}{\displaystyle \|g\|}=0$
Or, l'application $g\mapsto f\circ g+g\circ f$ est linéaire puisque $f$ est linéaire ! La définition même de la différentielle donne que $\Phi_2$ est différentiable en $f$ et
$D_f\Phi_2:g\mapsto f\circ g+g\circ f$.
Comprenez vous cet argument ? Pouvez vous le généraliser à $k\geq 2$ ?
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Vendredi 08 Novembre 2013, 22:33

Merci Tonn pour les explications que tu me donnes.

Mais c'est l’application inverse $f\mapsto f^{-1}$ dont on souhaite calculer la différentielle et non l'application linéaire $f^{-1}$.

C'est sûr, l'application qui à $f$ associe son inverse, je la connais pas.

$D(\Phi\circ F_k)(A)=D\Phi\left[F_k(A)\right]\circ DF_k(A)$

Et pourquoi pas $D(\Phi\circ F_k)(A)=D\Phi\left[F_k(A)\right](DF_k(A))$ Différentielle de $\Phi\left[F_k(A)\right]$ par rapport à $DF_k(A)$
J'ai effectivement des difficultés avec les notations, je ne comprends par exemple :
$\alpha:L(E)^k\to L(E),(X_1,\cdots,X^k)\mapsto X_1\cdots X^k$

$D\alpha(X,\cdots,X)(H,\cdots,H)=$ $\alpha(H,X,\cdots,X)+\alpha(H,X,\cdots,X)+\cdots+\alpha(X,X,\cdots,H)=\cdots$


Pour le dernier message, la démonstration est claire mais je ne sais plus pourquoi $\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$ dans
$\|(f+g)\circ (f+g)-f\circ f-f\circ g-g\circ f\|=\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$


Pouvez vous le généraliser à $k\geq 2$ ?

Je vais tâcher de voir cela demain.
J'ouvrerai un nouveau sujet sur les applications multilinéaires, j'aurai peut être du commencer par cela et j'essaierai de voir si toutes mes interrogations sont levées...
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Re: calcul de différentielles

Messagepar balf » Samedi 09 Novembre 2013, 03:01

paspythagore a écrit:
$D(\Phi\circ F_k)(A)=D\Phi\left[F_k(A)\right]\circ DF_k(A)$

Et pourquoi pas $D(\Phi\circ F_k)(A)=D\Phi\left[F_k(A)\right](DF_k(A))$ Différentielle de $\Phi\left[F_k(A)\right]$ par rapport à $DF_k(A)$

Parce que, à droite, l'application linéaire $D\Phi\left[F_k(A)\right]$ a besoin d'une valeur et non d'un autre application linéaire ($DF_k(A)$) pour argument.
Je crois que la formule pour une fonction composée est plus claire si l'on met le point où l'on calcule la différentielle en indice, réservant les parenthèses aux accroissements (H), pour prendre un vocabulaire utilitaire. La différentielle de la composée se note alors :

$$\mathsf{D(\Phi\circ F_k)_{A} = D\Phi_{F_k(A)}\circ (DF_k)_A,}$$

ce qui donne pour la valeur H de l'accroissement :

$$\mathsf{D(\Phi\circ F_k)_{A} (H)= D\Phi_{F_k(A)}\bigl( (DF_k)_A(H)\bigr)}.$$


J'ai effectivement des difficultés avec les notations, je ne comprends par exemple :
$\alpha:L(E)^k\to L(E),(X_1,\cdots,X_k)\mapsto X_1\cdots X_k$
$D\alpha(X,\cdots,X)(H,\cdots,H)=$ $\alpha(H,X,\cdots,X)+\alpha(H,X,\cdots,X)+\cdots+\alpha(X,X,\cdots,H)=\cdots$

J'ai corrigé la première ligne : je présume que k est un indice de la variable. Cela étant, la différentielle, ici, peut s'écrire en utilisant la formule qui donne la valeur de la fonction et des dérivées partielles :

$$\mathsf{D(X_1 \cdots X_k) = D_{X_1}(X_1\cdots X_k) +\cdots+ D_{X_k}(X_1\cdots X_k)}$$

$$\mathsf{= \ast\, X_2\cdots X_k +X_1\ast\,\cdots X_k+\cdots+X_1\cdots X_{k-1}\ast ,}$$

ce qui donne pour un accroissement $\mathsf{(H_1, \dots,H_k)}$ :

$$\mathsf{D(X_1 \cdots X_k)( H_1, \dots,H_k)= H_1X_2\dotsc  X_k +\dotsc +X_1\dotsc X_{k-1}H_k,}$$

(ne pas oublier que le produit n'est pas commutatif). Cela donne la réponse finale si tous les $\mathsf{X_i}$ sont égaux à X et tous les $\mathsf{H_i}$ égaux à H
Pour le dernier message, la démonstration est claire mais je ne sais plus pourquoi $\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$ dans
$\|(f+g)\circ (f+g)-f\circ f-f\circ g-g\circ f\|=\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$

Parce, d'une façon générale, $\left\lVert\mathsf{g\circ f}\right\rVert \leqslant\left\lVert\mathsf{g}\right\rVert\left\lVert\mathsf{f}\right\rVert$. Pour le dire vite, il n'y a pas de raison pour que, si en un point x une fonction f atteint son maximum, une autre fonction g atteigne son maximum en f(x).

B.A.
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Samedi 09 Novembre 2013, 12:00

Merci pour ces explications.
Pour la partie ci-dessous dans laquelle j'ai effectivement mis $k$ en exposant au lieu de le mettre en indice.

J'ai du mal à comprendre le $D(X_1\cdots X_k)(H_1\cdots H_k)=H_1X_2\cdots X_k+\cdots+X_1\cdots X_{k-1}H_k.$
J'ai bien compris que ça ne commutait pas, mais j'aurai tout de même écrit : $D(X_1\cdots X_k)(H_1\cdots H_k)=X_2\cdots X_kH_1+\cdots+X_1\cdots X_{k-1}H_k.$
Ce qui montre que je n'ai pas compris.

Je ne comprends pas non la ligne 2).

J'ai corrigé la première ligne : je présume que k est un indice de la variable. Cela étant, la différentielle, ici, peut s'écrire en utilisant la formule qui donne la valeur de la fonction et des dérivées partielles :

$$\mathsf{D(X_1 \cdots X_k) = D_{X_1}(X_1\cdots X_k) +\cdots+ D_{X_k}(X_1\cdots X_k)}$$



$$2)\hspace{1cm}\mathsf{= \ast\, X_2\cdots X_k +X_1\ast\,\cdots X_k+\cdots+X_1\cdots X_{k-1}\ast ,}}$$


ce qui donne pour un accroissement $\mathsf{(H_1, \dots,H_k)}$ :

$$\mathsf{D(X_1 \cdots X_k)( H_1, \dots,H_k)= H_1X_2\dotsc X_k +\dotsc +X_1\dotsc X_{k-1}H_k,}$$


(ne pas oublier que le produit n'est pas commutatif). Cela donne la réponse finale si tous les $\mathsf{X_i}$ sont égaux à X et tous les $\mathsf{H_i}$ égaux à H
paspythagore
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Re: calcul de différentielles

Messagepar balf » Samedi 09 Novembre 2013, 13:53

La ligne 2 est une façon condensée d'exprimer ces dérivées partielles en tant qu'applications linéaires sans faire figurer les accroissements H₁, … ,Hₖ. Elle n'est pas très précise, je vous l'accorde, mais me semblait parlante.

Cela étant, pour vous convaincre que les H₁, … , Hₖ sont placés là où étaient initialement X₁, … , Xₖ respectivement, et non à la fin, il suffit d'écrire le début du développement du produit (X₁ + H₁)···(Xₖ + Hₖ), en ne conservant que la partie linéaire (le faire pour k = 3 suffit pour comprendre comment tout ça se passe).

B.A.
balf
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