calcul de différentielles

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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Samedi 09 Novembre 2013, 17:31

Cela étant, pour vous convaincre que les H₁, … , Hₖ sont placés là où étaient initialement X₁, … , Xₖ respectivement, et non à la fin, il suffit d'écrire le début du développement du produit (X₁ + H₁)···(Xₖ + Hₖ), en ne conservant que la partie linéaire (le faire pour k = 3 suffit pour comprendre comment tout ça se passe).

B.A.

$(H_1+X_1)(H_2+X_2)(H_3+X_3)-X_1X_2X_3=$ $H_1X_2X_3+H_1H_2X_3+H_1X_2H_3+H_1H_2H_3$ $+X_1X_2X_3+X_1H_2X_3+X_1X_2H_3+X_1H_2H_3-X_1X_2X_3$

Et $D(X_1X_2X_3)(H_1H_2H_3)=H_1X_2X_3+X_1H_2X_3+X_1X_2H_3$

C'est un peu la question que me pose Tonn après la démonstration détaillée qu'il m'a faite pour $k=2$. A part qu'il me demande en plus de justifier.
J'ai essayé avec $k=4$ pour voir ce que cela donnait.

$(f\circ g)^4=$ $f^4+f^3g+f^2g^2+f^2gf+fg^3+fg^2f+$ $fgf^2+fgfg+gf^3+gf^2g+gfgf+gfg^2+g^2f^2+g^2fg+g^3f+g^4$
Je pense qu'il doit y avoir une justification qui permet de jeter tous les termes avec du $g^2$ ou plus dans un $o(g)$ (car $\Vert g\Vert\to0$) pour conclure que $D_f\Phi_4=f^3g+f^2gf+fgf^2+gf^3$. Comme justification, n'y a t-il que la récurrence ?




Tonn83 a écrit:$F_k$ désigne l'application $F_k:\mathcal{L}(E)\to\mathcal{L}(E)$ donnée par $F_k(f)=f^k$. Je vais vous expliquer comment procéder pour $k=2$. Par simple développement, pour toute application linéaire $f,g:E\to E$,
$(f+g)\circ (f+g)=f\circ f+f\circ g+g\circ f+g\circ g\, .$

Si $f$ et $g$ sont continues, par sous-multiplicativité de la norme d'opérateur,
$\|(f+g)\circ (f+g)-f\circ f-f\circ g-g\circ f\|=\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$
Par le théorème des gendarmes de Saint Tropez, ce calcul prouve que
$\displaystyle\lim_{\|g\|\to 0} \frac{\displaystyle\|\Phi_2(f+g)-\left(\Phi_2(f)+f\circ g+g\circ f\right)\|}{\displaystyle \|g\|}=0$
Or, l'application $g\mapsto f\circ g+g\circ f$ est linéaire puisque $f$ est linéaire ! La définition même de la différentielle donne que $\Phi_2$ est différentiable en $f$ et
$D_f\Phi_2:g\mapsto f\circ g+g\circ f$.
Comprenez vous cet argument ? Pouvez vous le généraliser à $k\geq 2$ ?
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Tonn83 » Samedi 09 Novembre 2013, 20:04

paspythagore a écrit:C'est un peu la question que me pose Tonn après la démonstration détaillée qu'il m'a faite pour $k=2$. A part qu'il me demande en plus de justifier. [...] Comme justification, n'y a t-il que la récurrence ?

Je ne pensais pas à une récurrence. Si récurrence il y avait, elle se cacherait derrière la définition du symbole $\sum$.

balf a écrit:
Pour le dernier message, la démonstration est claire mais je ne sais plus pourquoi $\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$ dans
$\|(f+g)\circ (f+g)-f\circ f-f\circ g-g\circ f\|=\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$

Parce, d'une façon générale, $\left\lVert\mathsf{g\circ f}\right\rVert \leqslant\left\lVert\mathsf{g}\right\rVert\left\lVert\mathsf{f}\right\rVert$. Pour le dire vite, il n'y a pas de raison pour que, si en un point x une fonction f atteint son maximum, une autre fonction g atteigne son maximum en f(x).


Attention Balf, nous ne sommes pas forcément en dimension finie. Le supremum de $\|f(x)\|$ quand $x$ parcourt la boule unité n'est pas forcément atteint :)
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Re: calcul de différentielles

Messagepar balf » Samedi 09 Novembre 2013, 20:30

@Tonn83 : je sais, et j'ai pris la précaution de préciser « Pour le dire vite ». Mais l'idée de base sous-jacente est quand même celle-là. Comme le disait un de mes enseignants, il vaut quelquefois mieux une démonstration convaincante qu'une démonstration juste…

B.A.
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Samedi 09 Novembre 2013, 20:33

il vaut quelquefois mieux une démonstration convaincante qu'une démonstration juste…
Surtout pour moi.
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Re: calcul de différentielles

Messagepar Tonn83 » Dimanche 10 Novembre 2013, 09:44

@ Balf : Oui, je partage cet avis mais ici la démonstration correcte est courte et relativement simple à comprendre. Supposons données des applications linéaires continues $f:E\to F$ et $g:F\to G$ entre espaces vectoriels normés. Par définition de la norme d'opérateurs, pour tout vecteur $x\in E$,
$\|g\circ f(x)\|_G=\|g\left(f(x)\right)\|_G\leq \|g\|\|f(x)\|_F\leq \|g\|\|f\|\|x\|_E$.
Donc toujours par définition de la norme d'opérateurs,
$\|g\circ f\|\leq \|g\|\|f\|$.


@Paspythagore : Une application bilinéaire continue $E\times F\to G$ est-elle différentiable et si oui quelle est sa différentielle ?
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Re: calcul de différentielles

Messagepar paspythagore » Dimanche 10 Novembre 2013, 22:53

Je ne sais pas faire autre chose.

$f(x_1+h_1,x_2+h_2)-f(x_1,x_2)= $ $f(x_1,x_2)+f(x_1,h_2)+f(h_1,x_2)+f(h_1,h_2)-f(x_1,x_2)$ en utilisant la linéarité de $f$.

$f(h_1,h_2)$ tend vers $0$ quand $(h_1,h_2)\to(0,0)$.

$f(x_1,h_2)+f(h_1,x_2)$ est linéaire et continue.

Donc $Df(x_1,x_2)(h_1,h_2)$ est différentiable et égal à $f(x_1,h_2)+f(h_1,x_2)$
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