calcul de différentielles 2

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calcul de différentielles 2

Messagepar paspythagore » Lundi 13 Janvier 2014, 21:44

Bonjour.
Je continue sur le registre du calcul des différentielles. Un peu déçu de mon résultat à l'examen, j'essaie de m'y remettre.
On définit la norme euclidienne $\Vert \cdot\Vert_e$ sur $\R^N$ par $\Vert x\Vert_e=\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^{1/2}$.

Démontrer que l'application $x\mapsto \dfrac{1}{\Vert x\Vert^4_e}$ est différentiable sur $\R^N\setminus\{0\}$ et calculer sa différentielle en n point $a$ de $\R^N\setminus\{0\}$.

l'application $x\mapsto \dfrac{1}{\Vert x\Vert^4_e}$ est différentiable sur $\R^N\setminus\{0\}$ comme quotient d'applications différentiables avec un dénominateur qui ne s'annule pas sur $\R^N\setminus\{0\}$.


Soit $(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\Vert x\Vert^4_e}$ avec $g(x)=\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^2$ et $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

On a $\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_j+h_j)^2\Big)^2-\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^2$ $=4\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)\Big)^2+\Big(\ds\sum_{j=1}^N +h_j^2\Big)^2$

$Dg(x)(h)=4\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)\Big)^2$

et $Dg(f(x))(h)=4\Big(\ds\sum_{j=1}^N \dfrac{x_j}{h_j}\Big)^2$

$Df(x)=\dfrac{-1}{x^2}$

Donc $D\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^2(h)=4\Big(\ds\sum_{j=1}^N \dfrac{x_j}{h_j}\Big)^2\cdot\dfrac{-1}{x^2}$
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar balf » Mardi 14 Janvier 2014, 02:05

Il y a une erreur au départ : la fonction est f$\circ$g et non g$\circ$f. D'autre part il est plus simple, à mon avis, de poser
g(x) = x₁² + ··· + xₙ² et f(x) = 1/x³.

Remarquez que votre réponse finale n'est pas linéaire en h !

B.A.
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar paspythagore » Mardi 14 Janvier 2014, 22:03

Je recommence. Je me suis un peu mélangé les pinceaux. Pouvez vous me corriger point par point pour que je comprenne mes erreurs.

L'application $x\mapsto \dfrac{1}{\Vert x\Vert^4_e}$ est différentiable sur $\R^N\setminus\{0\}$ comme quotient d'applications différentiables avec un dénominateur qui ne s'annule pas sur $\R^N\setminus\{0\}$.


Soit $(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\Vert x\Vert^4_e}$

$x\stackrel{f}{\mapsto}\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^2$, $x\stackrel{g}{\mapsto}\dfrac{1}{x}$.

On a $\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_j+h_j)^2\Big)^2-\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^2$ $=4\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)\Big)^2+\Big(\ds\sum_{j=1}^N +h_j^2\Big)^2$

$Df(x)(h)=4\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)\Big)^2$

et $Dg(f(x))(h)=\dfrac{-1}{\Big(\ds\sum_{j=1}^Nx_j^2\Big)^4}$

$Dg(x)=\dfrac{-1}{x^2}$

Donc $D\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^2(h)=\dfrac{-1}{\Big(\ds\sum_{j=1}^Nx_j^2\Big)^4}4\Big(\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)\Big)^2$
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar balf » Mardi 14 Janvier 2014, 23:15

C'est trop compliqué (et les calculs ont certainement des erreurs dès le début). En tout cas, votre réponse n'est pas linéaire en h. Prenez $\mathsf{f(x) = \sum_j x_j^2} $ et g(x) = 1/x², tout sera beaucoup plus simple.

B.A.
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar paspythagore » Mercredi 15 Janvier 2014, 13:48

Soit $(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\Vert x\Vert^4_e}$

$x\stackrel{f}{\mapsto}\ds\sum_{j=1}^N x^2_j$, $x\stackrel{g}{\mapsto}\dfrac{1}{x^2}$.

$D(g\circ f)(x)(h)=Dg(f(x))\circ Df(x)(h)$

On a $\ds\sum_{j=1}^N (x_j+h_j)^2-\ds\sum_{j=1}^N x^2_j$ $=\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)+\ds\sum_{j=1}^N +h_j^2$

$Df(x)(h)=2\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)$

et $Dg(x)=\dfrac{-2}{x^3}$


Donc $D(g\circ f)(x)(h)=\dfrac{-2}{\Big(\ds\sum_{j=1}^N x^2_j\Big)^3}\cdot 2\ds\sum_{j=1}^N (x_jh_j)$

Ca ne me paraît pas beaucoup plus linéaire.
Pourtant la différentielle de $g:\R^*\to\R^*$, c'est bien sa dérivée dans $\R^*$
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar balf » Mercredi 15 Janvier 2014, 13:59

Mais si, c'est linéaire (c.-à-d. du premier degré en les h_j – auparavant vous aviez des h_j²). C'est encore plus apparent si on écrit cette différentielle sous sa forme « globale », avec h = (h_j), x= (x_j) :

$\displaystyle\mathsf{ -\frac{4}{\lVert x\rVert^3} (x,h)$


B.A.
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar paspythagore » Mercredi 15 Janvier 2014, 15:11

Merci.
C'est les $h_j$ qu'il faut regarder.
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar Minibob59 » Vendredi 17 Janvier 2014, 10:43

Si je puis me permettre, quand on cherche à calculer des différentielles, il est parfois bon de revenir à la définition et de calculer $f(x+h)-f(x)$ (ou $f(x+h)$ puis faire apparaître le $f(x)$), et, avec des DL, trouver une expression qui dépend linéairement de $h$. Si la différentiabilité est démontrée, par unicité, on a la différentielle explicite.
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Re: calcul de différentielles 2

Messagepar paspythagore » Vendredi 17 Janvier 2014, 18:40

Oui bien sûr que vous pouvez vous permettre. Avec plaisir.
Le calcul de $f(x+h)-f(x)$, c'est ce que j'ai fait. Le cours que je suis privilégie l'emploi de la différentielle $D(gof)$ et n'utilise que très peu les DL.
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