Calcul d'une somme

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Calcul d'une somme

Messagepar celtic » Samedi 01 Décembre 2007, 15:08

Bonjour à tous

Etudier la nature des séries de termes géneral et calculer la somme.

$u_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

$u_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

$u_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}\sim \dfrac{1}{n^2}$ en $+\infty$

D'aprés le critére de Rienmann $\alpha=2$ la série converge

Calcul de la somme


$u_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{A}{(2n+1)}+\dfrac{B}{2n+3}=\dfrac{2An+3A+2B+2Bn+B}{(2N+1)(2n+3)}$

$(A+B)2n+3A+B=$ :?: et là je coinceje sais pas si j'ai pris la bonne direstion :?:
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar kojak » Samedi 01 Décembre 2007, 15:18

Salut Celtic,
ton critère de convergence est correct.
celtic a écrit:$(A+B)2n+3A+B=$ :?: et là je coinceje sais pas si j'ai pris la bonne direstion :?:
Ben si c'est bon : il suffit de dire que c'est ègal à $1$ le numérateur de $u_n$ et donc tu as un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre :wink:

PS : tu as une erreur de calcul à ton numérateur : tu as un $2B$ en trop
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar celtic » Samedi 01 Décembre 2007, 16:10

Salut Kojak


$\begin{cases}2A+2B=1\\3A+B=0 \end{cases}$

$\begin{cases}B=-\dfrac{1}{2}\\A=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar kojak » Samedi 01 Décembre 2007, 16:22

celtic a écrit:$2A+2B=1$
ben non, car tu n'as pas de $n$ au numérateur donc c'est $2A+2B=0$
L'autre équation est bonne $3A+B=1$

A corriger alors.
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar celtic » Samedi 01 Décembre 2007, 16:23

$\begin{cases}2A+2B=0\\3A+B=1 \end{cases}$

$\begin{cases}B=-\dfrac{1}{2}\\A=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

$u_n=\dfrac{1}{2(2n+1)} -\dfrac{1}{2(2n+3)}$

$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2(2n+1)}-\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2(2n+3)}$
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar kojak » Samedi 01 Décembre 2007, 16:43

OK pour ton $u_n$.
Pour la somme, il ne faut pas procéder de ta façon. D'ailleurs ta somme commence à $k=0$ et pas à $k=1$.
Je te conseillerais d'écrire
$s_n=u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_n$ à l'aide de la décomposition en éléments simples que tu viens d'obtenir, car, j'ai bien l'impression que dans cette somme, ça va bien s'arranger et donc il ne va plus te rester grand chose :wink:
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar celtic » Samedi 01 Décembre 2007, 16:53

ok j'ai pigé

$s_n=u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_n\Rightarrow s_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{14}+........=\dfrac{1}{2}$
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Re: Calcul d'une somme

Messagepar kojak » Samedi 01 Décembre 2007, 16:56

Pas tout à fait : il te manque le $-\dfrac{1}{2(2n+3)}$ dans le $s_n$ et ensuite quand tu prends la limite quand $n$ tend vers $+\infty$, il te reste $\dfrac{1}{2}$ qui est donc la valeur de ta somme $s$ :wink:
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