Calcul d'une somme (exo 2)

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Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar celtic » Samedi 01 Décembre 2007, 17:02

Bonjour à tous

Il s'agit d'étudier la nature de la série

$u_n=\dfrac{\sin^2 n}{3^n}$


Ici je transforme le$\sin^2$ et j'utilise Alembert :?:
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Re: calcul d'une somme exo 2

Messagepar kojak » Samedi 01 Décembre 2007, 17:07

celtic a écrit:Ici je transforme le $\sin^2$ et j'utilise Alembert :?:


Non...
le $\sin^2$ est compris entre combien et combien et donc ton terme général est de quel signe :?: et il est majoré par ...
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar celtic » Dimanche 02 Décembre 2007, 13:42

Bonjour kojak

$-1\leq \sin \leq 1$ donc$0\leq \sin^2 \leq 1$ est borné majoré par $1$

$U_n$ est borné et décroissante dons la série converge :?:
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar Arnaud » Dimanche 02 Décembre 2007, 14:44

Pourquoi décroissante ?
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar celtic » Dimanche 02 Décembre 2007, 14:53

Salut Arnaud

Parceque on a$\dfrac{1}{3^n}$ :?:
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar Valvino » Dimanche 02 Décembre 2007, 15:01

La suite $(u_n)$ définie par $\forall n \in \N^*,\ u_n=1/n$ est décroissante et bornée mais $\Sigma u_n$ diverge!

De plus ce n'est pas parce que $0 \leq u_n \leq v_n$ et que $(v_n)$ décroit que $(u_n)$ décroit! Et même plus fort, si $u_n \sim v_n$, la décroissance de $(v_n)$ n'implique pas celle de $(u_n)$!
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar kojak » Dimanche 02 Décembre 2007, 15:11

Salut Celtic,

tu as donc $0\leq u_n\leq\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et là à droite tu as une suite particulière. Que peut on dire de la série de terme général $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et donc avec les théorèmes de comparaison, tu peux conclure :wink:
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar RoMaIn » Dimanche 02 Décembre 2007, 15:14

Pour aller dans le sens de Valvino,
on a traité un exemple en cour pour insister sur ce point!!!
Soit $u_n=\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$, on a $u_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\frac{1}{\sqrt{n}}$ est décroissante, mais $u_n$ ne l'est pas! De plus $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ est divergente alors que $\sum u_n$ est convergente!

(j'espère que je ne me suis pas trompé dans l'expression de $u_n$ mais d'après mes souvenir c'est ça!)
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar Arnaud » Dimanche 02 Décembre 2007, 15:16

celtic a écrit:Parceque on a$\dfrac{1}{3^n}$ :?:


Effectivement ça c'est décroissant, mais ce n'est pas $u_n$.
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar kojak » Dimanche 02 Décembre 2007, 15:19

bonjour,
RoMaIn a écrit:Soit $u_n=\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$, on a $u_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$
J'ai quand même un gros doute sur cet équivalent :roll:
Pour les équivalents, je crois qu'il ne faut pas oublier les conditions d'utilisation : séries à termes positifs, à moins que je ne dises une grosse ânerie :roll:
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar Arnaud » Dimanche 02 Décembre 2007, 15:20

Edit : oups j'ai rien dit...
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar guiguiche » Dimanche 02 Décembre 2007, 16:42

L'équivalent proposé est faux, il manque le facteur $(-1)^n$
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar celtic » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:06

$0\leq u_n\leq\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \rightarrow 0$qd$n\rightarrow +\infty$ on ne peut conclure

Il faut donc trouver un équivalent et je ne touve pas pouvez vous m'aiguiller :?:
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar Valvino » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:10

Pas besoin d'équivalent ici.

De quelle type est la suite $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$? Que peut-on dire de la série associée?
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar celtic » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:21

C'est une suite géometrique

$u_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}$ quand $n\rightarrow u_n\rightarrow \dfrac{3}{2}$
Dernière édition par celtic le Dimanche 02 Décembre 2007, 17:24, édité 1 fois.
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar Valvino » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:23

Exact donc vu que la raison est strictement inférieur à 1 en valeur absolue, la série associée converger et par théorème de comparaison $\Sigma u_n$ converge.
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar RoMaIn » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:25

kojak a écrit:bonjour,
RoMaIn a écrit:Soit $u_n=\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$, on a $u_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$
J'ai quand même un gros doute sur cet équivalent :roll:
Pour les équivalents, je crois qu'il ne faut pas oublier les conditions d'utilisation : séries à termes positifs, à moins que je ne dises une grosse ânerie :roll:


Oui il faut que les termes soit positifs! Je suis aller un peu vite! (on a cas mettre une valeur absolue!)
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Messagepar celtic » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:26

$u_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}$ quand $n\rightarrow u_n\rightarrow \dfrac{3}{2}$
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar guiguiche » Dimanche 02 Décembre 2007, 17:29

celtic a écrit:$u_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}$ quand $n\rightarrow u_n\rightarrow \dfrac{3}{2}$

???
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Re: Calcul d'une somme (exo 2)

Messagepar celtic » Dimanche 02 Décembre 2007, 18:49

J'ai dans mon cours

$\sum\limits_{}^{}u_n\rightarrow \dfrac{1}{1-q}\rightarrow \dfrac{1}{1-\frac{1}{3}}\rightarrow \dfrac{3}{2}$ pour$|q|\leq 1$
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