Calcul d'une intégrale et th. Des résidus

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Calcul d'une intégrale et th. Des résidus

Messagepar Elmatheux » Jeudi 24 Avril 2014, 02:50

Bonjour tout le monde,
Je cherche à calculer l'intégrale suivante:

$$\int ^{+\infty }_{0}\dfrac {x\sin \left( ax\right) }{x^{2}+t^{2}}dx$$


Avec $a$ et $t$ réels positifs.

J'aimerai votre aide pour évaluer cette intégrale, en m'expliquant les étapes du calcul.
J'aimerai aussi savoir si le théorème des résidus est utile pour ce calcul, car en l'utilisant je tombe sur $\sin(i t a)$, que je n'arrive pas à l'utiliser pour la suite du calcul. $\sin(i x)$ me paraît trop bizarre !
Merci.
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Re: Calcul d'une intégrale et th. Des résidus

Messagepar kojak » Jeudi 24 Avril 2014, 16:16

Bonjour,

Xcas en ligne te donne sa valeur sans souci : c'est

Après, pour la calculer avec le théorème des résidus, voir ici exo 4 et un corrigé
pas d'aide par MP
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Re: Calcul d'une intégrale et th. Des résidus

Messagepar Elmatheux » Jeudi 24 Avril 2014, 18:03

Merci beaucoup, votre réponse est complète.
L'intégrale vaut $\dfrac {1}{2}\pi e^{-\left| at\right| }$
Problème résolu.
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