Borne supérieure

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Borne supérieure

Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 12:05

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'aide pour un exo d'analyse svp.

Exercice : Soit $A = \{ p/(qp+1) \text{, avec } p, \, q \in \N ^* \}$, $A$ étant inclus dans $\R$.
Montrer que $A$ possède une borne inférieure et une borne supérieure et les déterminer.

Je vous remercie d'avance.

[Edit: MB] LaTeX.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 12:36

Quel niveau cet exos ?
Quelle définition et quels résultats sur les bornes inférieures/supérieures connais-tu ?
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 14:52

je suis en 1ere année de licence mass
je connais l'axiome de la borne supérieure: tout ensemble non vide inclu dans R et majoré possede une bone sup . de meme tout ensemble non vide dans R et minoré possede une borne inferieure
mais je n'arrive pas a demontrer l'exo
pourriez vous m'aider
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 14:55

Tous les éléments de A sont positifs, non ? et inférieur à 1, non ?
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 15:28

oui c'est exact puisque pq+1 est supérieur à p donc tous les element de A sont inferieur a 1 , c'est exact
j'ai une idée je pense que 1 est la borne sup et 0 la bone inf
mais je recherche une vrai demonstration
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 15:34

Je ne pense pas que 1 soit la borne supérieure mais 0 doit la borne inféférieure.
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 15:47

ok ben jte remercie quand meme
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 15:51

Je parie plutôt sur $\sup(A)=\dfrac{1}{2}$ obtenu pour $p=q=1$ donc c'est même un maximum.
Pour $\inf(A)$, un passage à la limite sur $q$$p$ fixé) devrait t'aider.
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 16:20

ok je vois je peux fixé comme tu dis p=1 je vais exploité cette piste mais je pense que tu as raison sup(A)=1/2
mais dis moi juste par curiosité tu as quel niveau en math?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 16:32

SEBASTIEN a écrit:mais dis moi juste par curiosité tu as quel niveau en math?

Je suis prof en prépa ECS.
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 16:50

ah d'accord c'est un beau métier que vous faites, vous avez fais la fac ou une prepa avant d'etre prof de math?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 17:10

Prépa puis fac
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:11

ok bon je vous souhaite une bonne soirée et merci pour votre aide
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:13

SEBASTIEN a écrit:ok bon je vous souhaite une bonne soirée et merci pour votre aide

Bonne soirée à toi aussi.
As-tu terminé l'exercice ?
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:32

$\hookleftarrow$
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:49

non j'ai pas terminé l'exo au fait c'est un exercice que je fais en dehors des TD pour m'entrainer.

A est non vide et minoré par 0 donc A possede une borne inf A etant inclue dans R
JAI FIXé p=1 et j'obtien xq=1/q+1.
je di ensuite que il existe e positif tel que xq est compris entre 0 et e
donc 1 inferieur ou egal e(q+1) ce qui equivaut a 1/e inferieur ou egal a q+1
ce qui equivaut a (1/e)-1 inferieur ou egal a q
si e superieur ou egal a 1
alors (1/e)-1 est inferieur ou egal a 0 ce qui equivaut a 1/(q+1) compris entre 0 et e
si e inferieur a 1 alors (1/e)-1 est superieur ou egal 0. J'applique mintenan le theoreme d'archimede a 1 et (1/e)-1 . selon archimede il existe q dans R tel que (1/e)-1 est inferieur a q*1=q ce qui equivaut encore a 1/(q+1) compris entre 0 et e
j'ai montré ainsi que kelkesoi x dans A x superieure a 0
et kelkesoi e xq est compri entre 0 et e( strictement inferieur a e)
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Messagepar SEBASTIEN » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:52

donc la borne inf de A est 0
mais je n'arrive pas a determiner que 1/2 est la borne sup
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Messagepar kilébo » Dimanche 01 Octobre 2006, 22:22

En fait la borne sup est bien 1 :

$$\dfrac{p}{pq+1} = \dfrac{1}{q+\frac{1}{p}}$$



Si $q = 1$ et que l'on fait tendre $p$ vers $+\infty$, on voit que le terme tend vers 1.

Exemple : $p=2$ et $q=1$ alors

$$\dfrac{p}{pq+1} = \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}$$

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Messagepar guiguiche » Lundi 02 Octobre 2006, 08:34

Argggg, je n'ai même pas pensé à appliquer la technique pour BI à la BS, ça m'apprendra à répondre sur un exo sans le rechercher.
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Messagepar rebouxo » Lundi 02 Octobre 2006, 11:15

Ah je suis content, je disais que cela ne pouvait pas être $\frac{1}{2}$.
Ca me rassure, l'être humain est faillible.
:D
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