Bolzano Weierstrass

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Bolzano Weierstrass

Messagepar paspythagore » Jeudi 03 Octobre 2013, 12:00

Bonjour.
Je ne comprends pas la démonstration de ce théorème :
Les intervalles $[a,b]$ de $\R$ munis de la distance usuelle sont des espaces compacts.

Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite de l’intervalle $[a ;b]$. L’ensemble $A_n\stackrel{déf}{=}\{x_m,m\geqslant n\}$ est une partie majorée de réels qui admet donc une borne supérieure que l’on note $L_n$.

$A_n$ est aussi une partie minorée, l'ensemble $A_n$ est de plus en plus "petit" ?
De toute façon, dans $A_n$, une suite ne peut être que bornée ? (au pire par $a$ et $b$)
Comme la suite $A_n$ est une suite décroissante au sens de l’inclusion, la suite $(L_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante qui est minorée par $a$. La suite $(L_n)_{n\in\N}$ est donc convergente. Soit $L$ sa limite.

Démontrons que $L$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_{n\in\N}$.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif et $m$ un entier positif. Il existe un entier $n_0$, tel que :

$$\forall\varepsilon>0,\forall n\geqslant n_0, 0\leq \left|L_n-L\right|<\dfrac{\varepsilon}{2}$$


Soit $ n_1\stackrel{déf}{=}\max\{m,n_0\}$. Comme $L_{n_1}$ est le plus petit des majorants de $A_{n_1}$, il existe un entier $n$ tel que :

$$\left|x_n-L_{n_1}\right|<\dfrac{\varepsilon}{2 }$$


Donc, pour tout réel strictement positif $\varepsilon$ et tout entier positif $m$, il existe un entier $n\geqslant m$, tel que :

$$\left|x_n-L\right|<\varepsilon$$


Je ne comprends pas comment on arrive à $\left|x_n-L\right|<\varepsilon$.
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Re: Bolzano Weierstrass

Messagepar tize » Jeudi 03 Octobre 2013, 12:49

Bonjour,
$A_n$ est aussi une partie minorée, l'ensemble $A_n$ est de plus en plus "petit" ?
De toute façon, dans $A_n$, une suite ne peut être que bornée ? (au pire par $a$ et $b$)

Oui, c'est exact mais c'est sans doute pas utilisé dans la suite de la démonstration... La raison pour laquelle on dit "$A_n$ est majorée..." c'est uniquement pour rappeler ce qui va servir.

Problème :
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif et $m$ un entier positif. Il existe un entier $n_0$, tel que :

$$\forall\varepsilon>0,\forall n\geqslant n_0, 0\leq \left|L_n-L\right|<\dfrac{\varepsilon}{2}$$


où est passé $m$, à quoi sert-il ??!
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Re: Bolzano Weierstrass

Messagepar balf » Jeudi 03 Octobre 2013, 13:24

Pour arriver à |xₙ – L| < ε, on passe par l'inégalité triangulaire tout simplement, après avoir fait n = n₁ dans le premier encadrement (∀ε > 0, ∀ n ≥ n₀, …).

B.A.
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Re: Bolzano Weierstrass

Messagepar paspythagore » Jeudi 03 Octobre 2013, 16:20

@balf : oui merci. Pourquoi peut on dire "si $n = n_1$..."
@tize : effectivement, je ne sais pas à quoi sert $m$, il y a des erreurs dans mon cours qui m'empêchent de comprendre ?
Et je ne comprends cette ligne :
Soit $ n_1\stackrel{déf}{=}\max\{m,n_0\}$. Comme $L_{n_1}$ est le plus petit des majorants de $A_{n_1}$, il existe un entier $n$ tel que :

$$\left|x_n-L_{n_1}\right|<\dfrac{\varepsilon}{2 }$$

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Re: Bolzano Weierstrass

Messagepar tize » Vendredi 04 Octobre 2013, 11:25

Bonjour,
cette ligne là provient de la définition même de la borne supérieur...
puisque $L_{n_1}$ est la borne supérieure de $A_{n_1}$ cela veut dire que l'on peut approcher $L_{n_1}$ d'aussi près que l'on veut par un élément de $A_{n_1}$. Autrement dit il existe un entier $n\geq n_1$ tel que $\left|x_n-L_{n_1}\right|<\dfrac{\varepsilon}{2 }$
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Re: Bolzano Weierstrass

Messagepar paspythagore » Vendredi 04 Octobre 2013, 19:19

OK merci.
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