birapport et sphère de Riemann

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birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 19 Janvier 2014, 12:26

Bonjour.
Je m'en remets à vous pour une démonstration (de plus) que je ne comprends pas.
proposition : Soient $z_1,z_2,z_3,z_4$ des points distincts de $\mathbb{S}$.
Alors le birapport $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in\R$ ssi les points $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle de $\mathbb{S}$.

démonstration : Supposons que $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in\R$ et soit $T$ l'unique transformation homographique telle que $T(z_2)=0$, $T(z_3)=1$ et $T(z_4)=\infty$.
On a $(z_1:z_2:z_3:z_4)=T(z_1)\in\R$, donc $z_1\in T^{-1}(\overline{\R})$.

Ca doit être évident et pourtant, je ne comprends :
ni "On a $(z_1:z_2:z_3:z_4)=T(z_1)\in\R$"
ni "donc $z_1\in T^{-1}(\overline{\R})$."

L'expression du birapport $(z_1:z_2:z_3:z_4)=\Big(\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\Big)\Big(\dfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}\Big)$ est ici d'aucune utilité. Les définitions et théorèmes évitent tout calcul.

Résumé de mon cours :
Assimilant $\C$ à $\R^2$ et considérant par un abus de langage que $\R^2$ est contenu dans $\R^3$, on fixe un point noté $\infty$ qui n'est pas dans $\C$ et on pose $\mathbb{S}=\C\cup\{\infty\}$.

Une application $T:\mathbb{S}\to\mathbb{S}$ est dite transformation homographique s'il existe $a, b, c, d\in\C$ tels que $ad-bc\neq0$ et :
1) $T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ si $z\in\C\backslash\{-\frac{d}{c}\}$ et $c\neq 0$ ;
2) $T(-\frac{d}{c})=\infty$ et $t(\infty)=\frac{a}{c}$ si $c\neq0$ ;
3) $T(\infty)=\infty$ si $c=0$

Soient $z_1, z_2, z_3, z_4$ des points distincts de $\mathbb{S}$. On appelle birapport de ces quatre points le nombre complexe $Tz_1$$T$ est l'unique transformation homographique telle que $T(z_2)=0, T(z_3)=1, T(z_4)=\infty$ ; on note $(z_1:z_2:z_3:z_4)$ ce nombre.

Soient $z_1, z_2, z_3, z_4$ des points distincts de $\mathbb{S}$ et $T$ une transformation homographique . alors $(Tz_1:Tz_2:Tz_3:Tz_4)=(z_1:z_2:z_3:z_4)$.
Dernière édition par paspythagore le Dimanche 19 Janvier 2014, 17:57, édité 1 fois.
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Re: birappot et sphère de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 19 Janvier 2014, 15:57

Par définition,

$$\mathsf{(z_1:z_2:z_3:z_4) = T(z_1)$$

si $\mathsf{z_2}$ s'envoie sur 0, $\mathsf{z_3}$ sur 1 et $\mathsf{z_4}$ sur $\mathsf\infty$, donc $\mathsf{z_1}$ appartient à R puisque le birapport est réel. Il est non nul parce que T est bijective (et même holomorphe sur P₁() et que les points sont distincts.

Donc $\mathsf{z_1}$ appartient à T⁻¹(R), donc a fortiori à l'image réciproque de la droite projective réelle.

En revanche, ce que je ne comprends pas, avec la formule donnée pour l'expression du birapport (qui est l'expression classique), c'est que je trouve $\mathsf{1 - T(z_1)}$. On ne trouve $\mathsf{T(z_1)}$ que si on prend pour expression du birapport :

$$ \mathsf{\dfrac{z_1 - z_2}{z_1 -  z_4}\cdot\dfrac{z_3 -  z_4}{z_3 - z_2}.$$


Ce n'est pas très grave, parce qu'il correspond à l'expression classique du birapport après permutation de $\mathsf{z_2}$ et de $\mathsf{z_3}$. C'est d'ailleurs l'expression que fournit Eric Weisstein sur http://mathworld.wolfram.com/CrossRatio.html.
Disons qu'il règne un certain flou dans cette expression…

B.A.
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Re: birappot et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 19 Janvier 2014, 16:49

Merci.
Je ne retombais pas sur mes pattes.
Mais $T$, c'est toujours l'unique transformation homographique telle que $\mathsf{z_2}$ s'envoie sur 0, $\mathsf{z_3}$ sur 1 et $\mathsf{z_4}$ sur $\mathsf\infty$ si $\mathsf{z_1},\mathsf{z_2},\mathsf{z_3},\mathsf{z_4}\in\mathbb{S}$ sont distincts.
Pourquoi $T(z_1)\in\R$ si $T(z_2), T(z_3)$ et $T(z_4)$ sont réels.
Simplement parce que l'image d'un cercle est un cercle ?
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Re: birappot et sphère de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 19 Janvier 2014, 16:59

Mais tout bonnement parce que la démonstration commence par : « Supposons que le birapport soit réel », et que ce birpport, c'est $\mathsf{T(z_1)}$.

B.A.
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 19 Janvier 2014, 18:32

Oui, merci.
démonstration : Supposons que $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in\R$ et soit $T$ l'unique transformation homographique telle que $T(z_2)=0$, $T(z_3)=1$ et $T(z_4)=\infty$.
On a $(z_1:z_2:z_3:z_4)=T(z_1)\in\R$, donc $z_1\in T^{-1}(\overline{\R})$.
Comme $T^{-1}$ est une transformation homographique et $\overline{\R}$ est un cercle de $\mathbb{S}$

Le cercle passant par les 2 pôles de la sphère de Riemann et ayant pour projection stéréographique la droite réelle un plan complexe ?
...,$T^{-1}(\overline{\R})$ est un cercle de $\mathbb{S}$.

Puisque $z_2=T^{-1}(0),z_3=T^{-1}(1)$ et $Z_4=T^{-1}(\infty)$, $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle $T^{-1}(\overline{\R})$.

J'ai du mal à voir $\overline{\R}$ comme un cercle de $\mathbb{S}$ alors qu'il est une droite de $\overline{\C}$ et $\mathbb{S}$ est homéomorphe à $\overline{\C}$.

Une question : que signifie $\infty$ dans $\overline{\C}=\C\cup\infty$ ?
Un $z$ de module infini ?
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 19 Janvier 2014, 19:31

paspythagore a écrit:Le cercle passant par les 2 pôles de la sphère de Riemann et ayant pour projection stéréographique la droite réelle un plan complexe ?

C'est bien ça.
J'ai du mal à voir $\overline{\R}$ comme un cercle de $\mathbb{S}$ alors qu'il est une droite de $\overline{\C}$ et $\mathbb{S}$ est homéomorphe à $\overline{\C}$.

Sur un dessin, il me semble pourtant que c'est clair. Plus concrètement (enfin, pour moi), imaginez que le plan complexe C soit figuré par la surface d'un mouchoir et qu'on en ramène les 4 coins et la bordure du mouchoir en un seul point.

Une question : que signifie $\infty$ dans $\overline{\C}=\C\cup\infty$ ?
Un $z$ de module infini ?

C'est une façon abstraite de voir. Pensez à ce qui a lieu quand on définit $\mathsf{\overline{R}}$ : on part de la droite réelle et on « rajoute » abstraitement un point qu'on appelle $\mathsf\infty$. Visuellement, on peut imaginer que, dans un premier temps, on ajoute un point à l'infini dans la direction positive et un autre dans la direction négative (des extrémités qu'on ne pourrait jamais atteindre, en quelque sorte) ; dans un deuxième temps, on identifie ces deux points à l'infini, autrement dit, on raboute les deux extrémités : ça ressemble furieusement à un cercle, non ?

Maintenant, si on veut voir ça de façon algébrique, on doit en passer par la droite projective : un système de 2 coordonnées (X,T) non toutes deux nulles, définies à un facteur non nul près, qu'on note souvent [X:T], avec la règle suivante : si λ est scalaire non nul, [λ X : λ T] représente le même point (il s'agit donc de relation d'équivalence). La droite affine usuelle se plonge là-dedans par l'application x $\mapsto$ [x : 1] = [λ x : λ ]. Maintenant, le point à l'infini correspond au point [x : 0] .
Inversement, ayant un point de coordonnées projectives [X :T], si T est non nul, il lui correspond le point de la droite affine x = X/T, mais, évidemment, si T = 0, il ne lui correspond rien du tout : ce point est « à l'extérieur » de la droite affine.

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 19 Janvier 2014, 21:12

Merci.
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Samedi 25 Janvier 2014, 15:19

Bonjour.
Il me reste une incompréhension sur la réciproque.

Les points distincts $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle de $\mathbb{S}\Rightarrow z_1,z_2,z_3,z_4$ sont des points distincts de $\mathbb{S}$ et le birapport $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in\R$

La démonstration repose sur le fait que l'image d'un cercle de $\mathbb{S}$ par une transformation homographique est un cercle de $\mathbb{S}$
et que : si on suppose que $T(z_2)=0$, $T(z_3)=1$ et $T(z_4)=\infty$, on a $(z_1:z_2:z_3:z_4)=T(z_1)\in T(C)=\overline{\R}$

Ce que je ne comprends, c'est que si je prends n’importe quel cercle de $\mathbb{S}$, ça ne marche pas.
Pourtant l’énoncé de la proposition (partie de gauche) ne parle pas d'un cercle en particulier.
Géométriquement, je ne vois pas.
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Samedi 25 Janvier 2014, 15:35

Qu'est-ce qui ne marche pas, exactement ?

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Samedi 25 Janvier 2014, 16:37

Je confonds projection stéréographique et transformation homographique.
Je n'ai pas compris ce qu'est une transformation homographique malgré la définition et les propositions : la composée d'homothéties, rotations, translations et inversions complexes.

Plus particulièrement, je ne comprends pas :
$ T(C)=\overline{\R}$
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Samedi 25 Janvier 2014, 18:24

Moi non plus : c'est quoi, C ? (Je soupçonne que, sur la sphère de Riemann, il s'agit d'un grand cercle passant par le centre de projection).

Cela étant, une transformation homographique est une brave fonction homographique telle que définie dans le secondaire, mais appliquée à une variable complexe, donc z $\mapsto$ (az + b)/(cz + d), avec la condition ad — bc $\neq$ 0, et prolongée de façon à tenir compte du point à l'infini ($\mathsf{\infty \mapsto a/c} $ si c est non nul, $  \mapsto\mathsf\infty$ si c = 0, et aussi –d/c $\mapsto\mathsf\infty$ si c n'est pas nul.

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Samedi 25 Janvier 2014, 18:56

$C$ c'est le cercle qui passe par $z_1,z_2,z_3,z_4$.
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 26 Janvier 2014, 11:28

Il faut ne pas perdre de vue qu'un cercle de la sphère de Riemann (en tant que C$\cup\infty$ qui passe par $\infty} est une droite du plan complexe (et donc correspond, via la projection stéréographique, à un grand cercle passant par les pôles de la sphère de R³).

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:05

Je comprends cela, justement pour montrer que :
proposition : Soient $z_1,z_2,z_3,z_4$ des points distincts de $\mathbb{S}$.
Alors le birapport $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in\R$ ssi les points $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle de $\mathbb{S}$.

pour montrer que la deuxième hypothèse implique la première, le cercle est quelconque, sa projection stéréographique n'est donc pas forcément la droite réelle sur le plan complexe ?
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:37

Ce n'est une droite que si le cercle passe par le point $\infty$. C'est à ça que sert d'envoyer les points z₂, z₃, z₄ sur 0, 1, $\infty$.

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 26 Janvier 2014, 23:02

Oui mais des grands cercles passant par $\infty$, il y en a une infinité.
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Lundi 27 Janvier 2014, 00:12

Il y a aussi un infinité de droites passant par l'origine dans le plan.

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Lundi 27 Janvier 2014, 08:30

Oui mais je pensais que seule la droite réelle nous intéressait.
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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar balf » Lundi 27 Janvier 2014, 10:07

C'est précisément celle qui correspond aux points 0, 1, $\infty$.

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Re: birapport et sphère de Riemann

Messagepar paspythagore » Lundi 27 Janvier 2014, 20:19

Ah!!
Ces points sont sur le plan complexe, pas sur la sphère. Je n'avais pas bien compris.
Désolé.

Il n'empêche, si $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont, par exemple, sur le cercle qui se projette sur l'axe des imaginaires purs, comment peut on calculer le birapport pour vérifier qu'il est réel ?
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