[Résolu] Bilinéarité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[Résolu] Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Lundi 10 Février 2014, 12:52

Bonjour à tous,

Je viens vers vous car je suis bloqué sur une question d'un exercice sur la bilinéarité, en espérant que vous m'aidiez à trouver la bonne voie :)

Tout l'exercice pas de soucis, j'arrive à ma base orthonormale B={$e_1,e_2,e_3$} avec $e_1(t)=\frac{1}{\sqrt2}$, $e_2(t)=cos(2\Pi t)$ et $e_3(t)=sin(2\Pi t)$
Notre produit scalaire sur D est : $\Phi : (f,g) $->$ 2\int_0^1 \!f(t)g(t)dt$

Voilà où je bloque : on fixe un réel x et on suppose $\phi_x : f$--> h telle que $\forall t \in R, h(t) = f(x-t)$
Il faut montrer qye $\phi_x$ est un endomorphisme de A et donner la matrice dans B. (Sachant que A est le sev de D).
Puis ensuite il faut montrer que pour toute fonction f de A, on a : $(\int_0^1 \! f(t)dt )^2 \le \int_0^1 \! f^2(t)dt$

Merci beaucoup,
Cordialement
Dernière édition par guillaumeibanez le Dimanche 16 Février 2014, 16:08, édité 1 fois.
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Re: problème exercice bilinéarité

Messagepar guiguiche » Lundi 10 Février 2014, 14:45

Déjà, tu peux montrer que $\phi_x(e_i)\in A$ puis que $\phi_x$ est linéaire.
Avec ce que je viens d'écrire, la matrice n'est pas loin.
Enfin, l'inégalité demandée est en lien avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour ton produit scalaire.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Lundi 10 Février 2014, 21:14

Je ne parviens pas à définir ce qu'est h, f et les paramètres..
Puis-je dire que c'est un endomorphisme car $x$ est un réel fixé, t $\in$ R également, c'est à dire $(x-t)$ $\in$ R donc forcément $h(t)=f(x-t)$ sera un endomorphisme?
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Lundi 10 Février 2014, 21:59

L'ensemble $A$ est un ensemble de fonctions. Dire que $B$ en est une base (orthonormée), c'est dire que pour toute fonction $f$ de $A$, il existe un unique triplet $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que

$$f = a e_1 + b e_2 + c e_3$$


c'est-à-dire que

$$\forall t \in [0,1] \; f(t) = a e_1(t) + b e_2(t) + c e_3(t)$$


On est bien d'accord là-dessus ?

Maintenant, on considère $x \in \mathbb{R}$ fixé et on définit l'application $\phi_x : A \to A, f \mapsto h$, définie par : $\forall t \in [0,1], h(t) = f(x-t)$. Certes $x$ est fixé, mais $t$ ne l'est pas...
Et ce n'est pas $h$ qui est un endomorphisme (c'est simplement une fonction de $[0,1] \to \mathbb{R}$), mais $\phi_x$. $h$ est l'image de $f$ par $\phi_x$ ($h = \phi_x(f)$).
Qu'est-ce qu'un endomorphisme ? Quelles sont les propriétés à vérifier ? Ensuite, qu'est-ce que la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ? A partir des définitions des objets que l'on manipule, on doit pouvoir répondre aux questions de l'exercice.
Dernière édition par Minibob59 le Lundi 10 Février 2014, 22:01, édité 1 fois.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guiguiche » Lundi 10 Février 2014, 22:01

La linéarité est plutôt : $\phi(\lambda f+g)=\lambda \phi(f)+\phi(g)$ (pour tout réel $\lambda$ et tout couple (f,g) d'éléments de A) qui se démontre en prouvant que pour tout réel t, on a : $\phi(\lambda f+g)(t)=\lambda \phi(f)(t)+\phi(g)(t)$ ou encore, pour tout réel t : $(\lambda f+g)(x-t)=\lambda f(x-t)+g(x-t)$ (ce qui fait parti des règles du "jeu" de l'évaluation des fonctions numériques).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 16:15

Bonjour à vous,

Merci pour vos réponses, elles m'ont permis de revoir un peu que je n'avais pas compris.
J'ai bossé toute la nuit dessus, j'ai compris la linéarité : en fait $h(t)$ c'est une translatée? de $\phi$ ?
Le fait de montrer que c'est linéaire et que $h(t)$ réalise une translatée permet de dire qu'on a un endomorphisme?
Par contre sa matrice dans B je ne vois toujours pas..

Merci encore,
Cordialement
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 17:41

La fonction $h$ est presque une translatée : c'est une "translatée-symétrisée" de $f$ (ça serait une translatée si $h(t) = f(t-x)$).
guillaumeibanez a écrit:Le fait de montrer que c'est linéaire et que $h(t)$ réalise une translatée permet de dire qu'on a un endomorphisme?

Ce n'est pas très clair... Qu'est-ce que le "c'est" ? On veut montrer que $\phi_x$ est un endomorphisme. Il faut donc montrer deux choses :
  • pour tout $f \in A, \phi_x(f) \in A$
  • $\phi_x$ est linéaire

Pour la matrice de $\phi_x$, je repose la question : savez-vous ce qu'est la matrice d'un endomorphisme dans une base ?

Bon courage,
cordialement.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 18:18

D'accord, alors pour la linéarité : $\phi (\lambda f + g) = \lambda \phi (f) + \phi (g)$ ok
pour tout $f \in A, \phi_x (f) \in A$ c'est à dire :
$\phi_x (f) = h$ soit $\phi_x (f)(t) = h(t) = f(x-t)$ avec $f=ae_1 + be_2 + ce_3$ et (a,c,b) un triplet $\in \R^3$
donc $ \phi_x (f)(t) = (ae_1 + be_2 + ce_3)(x-t)$

La matrice d'un endomorphisme on a une matrice carré avec les différents coefficients liés à notre base de départ?

Edit : Avec notre base orthonormale on a la matrice identité!
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 19:08

guillaumeibanez a écrit:donc $ \phi_x (f)(t) = (ae_1 + be_2 + ce_3)(x-t)$

Oui. Poursuivez le calcul... Là vous n'avez pas encore montré que $h \in A$.

guillaumeibanez a écrit:La matrice d'un endomorphisme on a une matrice carré avec les différents coefficients liés à notre base de départ?

Mais encore ? La matrice d'un endomorphisme est une matrice carrée, tout à fait. De quelle taille ici ? Quels sont ces coefficients ?

guillaumeibanez a écrit:Edit : Avec notre base orthonormale on a la matrice identité!

Là c'est faux par contre. La matrice d'un endomorphisme dans une base donnée, même orthonormée, est la matrice identité ssi cet endomorphisme est l'identité. Or ici ce n'est pas clairement pas le cas.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 19:48

Donc $\phi_x (f)(t) = \frac{ax}{\sqrt 2} + bxcos(2\Pi t) + cxsin(2\Pi t) - \frac{at}{\sqrt 2} - btcos(2\Pi t) - ctsin(2\Pi t)$

Notre matrice est d'une taille 3x3? sur mon calcul juste au dessus j'ai l'impression de retrouver les coefficients de ma matrice du coup.. mais il me manquerait 3 valeurs

Du coup ma matrice pourrait être : $M{_b} \phi_x =  \begin{pmatrix}    \frac{ax}{\sqrt 2} & b_1 & c_1\\    a_2 & b_2 &  c_2\\    a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$

Edit : Merci de m'aider ça m'aide à mieux appréhender l'exercice!
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 20:47

La matrice de $\phi_x$ dans $\{e_1, e_2, e_3 \}$ est bien d'ordre 3, par contre je ne suis pas d'accord avec ceci :
guillaumeibanez a écrit:$\phi_x (f)(t) = \frac{ax}{\sqrt 2} + bxcos(2\Pi t) + cxsin(2\Pi t) - \frac{at}{\sqrt 2} - btcos(2\Pi t) - ctsin(2\Pi t)$

Il ne doit pas y avoir de $t$ ni de $x$ en dehors des sinus et cosinus (formules trigo).

guillaumeibanez a écrit:Edit : Merci de m'aider ça m'aide à mieux appréhender l'exercice!

Le forum est fait pour ça ! ^^
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 21:01

On se retrouve juste avec $\phi_x (f)(t) = ( a\frac{1}{\sqrt 2} + bcos(2\Pi t) + csin(2\Pi t) )(x-t)$ ?
On ne peut pas aller plus loin?
Pour la matrice je reprends ce que j'ai mis juste au dessus avec $t=0, t=1$ et $t=\frac{\sqrt 2}{4\Pi} $
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 21:08

guillaumeibanez a écrit:On se retrouve juste avec $\phi_x (f)(t) = ( a\frac{1}{\sqrt 2} + bcos(2\Pi t) + csin(2\Pi t) )(x-t)$ ?

Ceci est faux. On a $\phi_x(f)(t) = a e_1(x-t) + b e_2(x-t) + c e_3(x-t)$.
Quand on écrit $e_2(t) = \cos{(2\pi t)}$, on a : $e_2(x-t) = \cos{(2\pi (x-t))}$. (on "remplace" $t$ par ce qu'il y a entre les parenthèses qui suivent "$e_2$", c'est simplement l'évaluation de $e_2$ en $x-t$).

Vous avez confondu la fonction $e_i$ avec le nombre $e_i(t)$ ou quelque chose comme ça. En tout cas : $\phi_x (f)(t) \neq ( a\frac{1}{\sqrt 2} + bcos(2\pi t) + csin(2\pi t) )(x-t)$.

Pouvez-vous reprendre et terminer le calcul en corrigeant cette erreur ?
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 21:23

Aaaaaahhh d'accord c’était le $t$ qu'on remplaçait !!!
Du coup $\phi_x (f)(t) = \frac{a}{\sqrt 2}(x-t) + bcos(2\Pi x -2\Pi t) + csin(2\Pi x - 2\Pi t)$
et donc $\phi_x (f)(t) =  \frac{ax}{\sqrt 2} - \frac{at}{\sqrt 2} + bcos(2\Pi x)cos(2\Pi t) + bsin(2\Pi x)sin(2\Pi t) + csin(2\Pi x)cos(2\Pi t) - csin(2\Pi t)cos(2\Pi x)$
Comme $t \in [0,1]$ est ce qu'on peut dire que $sin(2\Pi t)$ est nul ?
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 21:42

guillaumeibanez a écrit:Du coup $\phi_x (f)(t) = \frac{a}{\sqrt 2}(x-t) + bcos(2\Pi x -2\Pi t) + csin(2\Pi x - 2\Pi t)$

Presque ! $e_1(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, donc ça ne dépend pas de $t$... Mais modulo cette petite erreur, le reste du calcul me semble bon.

guillaumeibanez a écrit:Comme $t \in [0,1]$ est ce qu'on peut dire que $sin(2\Pi t)$ est nul ?

Non. Par exemple si $t = \dfrac{1}{4}$...

Avec ce que vous venez de faire, comment justifiez-vous que $\phi_x$ est un endomorphisme de $A$ ?
Pouvez-vous maintenant expliciter la matrice de $\phi_x$ dans votre base orthonormée ?
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 22:00

J'ai trouvé une matrice je prie pour que ce soit ça :
$M_B$ $\phi_x (f)(t)= \begin{pmatrix}    a & 0 & 0 \\    0 & b & c \\    0 & -c & b \end{pmatrix}$

Je n'arrive pas à expliquer pourquoi, à partir de la je sais que $\phi_x$ est un endomorphisme de $A$..
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 22:13

Ce n'est pas ça, désolé... ^^
Les coefficients $a$, $b$ et $c$ introduits plus haut caractérisent une fonction $f \in A$. Ils dépendent donc de $f$ et seulement de $f$ (donc pas de $\phi_x$). (Bon de la base aussi, mais elle est fixée une fois pour toute, donc on laisse ça de côté).
En revanche, la matrice de $\phi_x$ - notons la $M$ pour la suite - ne dépend que de $\phi_x$ (et de la base aussi), mais ne doit pas faire intervenir une fonction $f$ particulière, donc aucune raison que les coefficients $a$, $b$ et $c$ apparaissent dans $M$.

Je reviens sur le problème de "$\phi_x$ endomorphisme". Vous avez déjà montrer la linéarité de l'application. Il faut et il suffit maintenant de montrer que pour tout $f \in A$, on a bien $\phi_x(f) \in A$. Comment pouvez-vous montrer cela à la lumière du calcul mené précédemment ? (ne cherchons pas compliqué : comment montre-t-on qu'un vecteur $x$ appartient à un espace vectoriel dont on connait une base ?)
A partir de là, on pourra réfléchir aux coefficients de $M$. De manière général, dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, si $f$ est un endomorphisme de $E$, comment remplit-on la matrice de $f$ dans une base $B$ fixée de $E$ ? (formule "générale"). Adaptez au cas particulier de votre exercice.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guiguiche » Mardi 11 Février 2014, 22:24

Comme on a la linéarité, plutôt que de calculer $\phi_x(f)$ pour f quelconque, autant se contenter de $\phi_x(e_i)$ pour i=1,2,3. En plus cela fournit la matrice demandée.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: Bilinéarité

Messagepar guillaumeibanez » Mardi 11 Février 2014, 22:32

$A$ est un ensemble de fonctions et a pour base $B=${$e_1,e_2,e_3$}
En faisant $\phi_x (f)$ on a retrouvé nos fonctions de la base B avec en plus un coefficient devant tel que $cos(2\pi x)$ sachant que notre $x$ est un réel fixé.

Donc en fait, ce qu'on met à l’intérieur de notre matrice ce sont les coefficients trouvés ?
$M_B$ $\phi_x =  \begin{pmatrix}     1 & 0 & 0 \\     0 & cos(2\Pi x) & -1 \\     0 & -1 & sin(2\Pi x)  \end{pmatrix}$
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Re: Bilinéarité

Messagepar Minibob59 » Mardi 11 Février 2014, 22:39

C'est l'idée, mais il doit y avoir une ou deux erreurs de calculs puisque deux des coefficients de la matrices sont faux.
guiguiche propose une méthode plus simple en effet.
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