Bijection ?

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Bijection ?

Messagepar hec » Dimanche 08 Octobre 2006, 19:38

bonsoir, je ne comprends pas pourquoi la fonction $f: z \rightarrow \overline{z}$ définie de $\C$ dans $\C$ est une bijection ? En quoi est-ce une injection ou une surjection ?

merci si vous pouvez m'éclairer ...
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Messagepar guiguiche » Dimanche 08 Octobre 2006, 19:41

Que peut-on dire de $z$ et de $z'$ lorsque $\bar{z}=\bar{z}'$. Justifie ta réponse et conclus.
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Messagepar hec » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:07

je ne comprends pas bien.. à quoi dois-je arriver ? Dois je décomposer Z en a+ib et Z prime en a'-ib' pour arriver à a=a' et b=b' ?
Dernière édition par hec le Dimanche 08 Octobre 2006, 20:43, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:25

hec a écrit:je ne comprends pas bien.. à quoi dois-je arriver ? Dois je décomposer Z en a+ib et Z prime en a-ib pour arriver à a=a' et b=b' ?

Oui et qu'en déduit-on concernant $z$ et $z'$ ?
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Messagepar hec » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:26

On en déduit que Z=Z' et c'est fini, on a démontré que f est une injection ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:31

hec a écrit:On en déduit que Z=Z' et c'est fini, on a démontré que f est une injection ?

Oui.
Reste la surjection.
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Messagepar hec » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:40

z barre =z' barre
$\Leftrightarrow$ a-ib=a'-ib'
$\Leftrightarrow$ a=a' et b=b'
$\Leftrightarrow$ z=z' d'où f injective
c'est bien cela pour l'injection ?

pour la surjection je pense que l'on peut dire si l'on prend n'importe quel complexe, il est le conjugué d'un autre complexe donc f surjective.

merci pour votre aide.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:53

hec a écrit:z barre =z' barre
$\Leftrightarrow$ a-ib=a'-ib'
$\Leftrightarrow$ a=a' et b=b'
$\Leftrightarrow$ z=z' d'où f injective
c'est bien cela pour l'injection ?

Oui, c'est cela.

hec a écrit:pour la surjection je pense que l'on peut dire si l'on prend n'importe quel complexe, il est le conjugué d'un autre complexe donc f surjective.

Je serai plus précis que cela. Si $z\in\C$ alors $f(\bar{z})=z$ d'où la surjectivité.
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Messagepar hec » Dimanche 08 Octobre 2006, 20:59

merci ! :P
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Messagepar kilébo » Dimanche 08 Octobre 2006, 21:16

J'ai une question supplémentaire : Quelle est l'application réciproque de la conjugaison ?
Dernière édition par kilébo le Dimanche 08 Octobre 2006, 21:22, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 08 Octobre 2006, 21:20

kilébo a écrit:J'ai une question supplémentaire : Quelle est l'application réciproque de la conjugaison ?

Je n'osai la poser.
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bijection

Messagepar michelll » Lundi 09 Octobre 2006, 16:08

Comme c est une fonction dont l inverse est elle meme c est une bijection et c est facile de voir que si tu la compose a elle meme tu auras l identite.

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Re: bijection

Messagepar kilébo » Lundi 09 Octobre 2006, 21:40

michelll a écrit:Comme c est une fonction dont l inverse est elle meme c est une bijection et c est facile de voir que si tu la compose a elle meme tu auras l identite.

michelll


Salut michelll.

Nous espérions qu'il trouve cela de lui-même en fait.
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Messagepar michelll » Mardi 10 Octobre 2006, 19:49

et moi j etais sur que ta question etait serieuse...desole.

exo 2 > montrer que $z \mapsto -z$ de $\C$ dans $\C$ est bijective.
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Messagepar hec » Mardi 10 Octobre 2006, 21:38

Bonsoir,

-z=-z'
d'où -a-ib=-a'-ib'
d'où a=a' et b=b'
d'où f injective

si z$\in \C$ alors f(-z)=z d'où f surjective

donc f bijective

par contre je ne comprends guère de quoi vous parlez plus haut, sans doute une notion non étudiée... :lol:
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Messagepar guiguiche » Mardi 10 Octobre 2006, 21:44

hec a écrit:par contre je ne comprends guère de quoi vous parlez plus haut, sans doute une notion non étudiée... :lol:

Précise : de quoi parle-t-on plus haut que tu ne comprends pas ?
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Messagepar hec » Mardi 10 Octobre 2006, 21:50

de l'action réciproque de la conjugaison ...
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Messagepar Arnaud » Mardi 10 Octobre 2006, 21:57

Si, c'est juste un vocabulaire différent.

La fonction réciproque du logarithme népérien est la fonction exponentielle...par exemple.
Quand il s'agit d'une bijection, on se demande souvent quelle est sa réciproque.

La conjugaison est l'application que tu as définie au début du topic.
Arnaud

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Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
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Messagepar hec » Mardi 10 Octobre 2006, 22:10

d'accord merci Arnaud :)

mais donc lorsque l'on cherche l'application réciproque d'une bijection, dans le cas de ma première question, on trouve Id (c'est bien ça?) et sinon qu'est ce qu'il peut y avoir comme autres résultats possibles avec d'autres exemples ? (c'est pour m'aider à mieux cerner le problème) merci.
hec
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Messagepar guiguiche » Mardi 10 Octobre 2006, 22:11

Arnaud a écrit:La conjugaison est l'application que tu as définie au début du topic.

Oui, la conjugaison transforme un complexe en son conjugué (d'où le nom).
J'ose imaginer, hec, que tu as entendu parler d'application réciproque.
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