Base pour un Sous Espace Vectoriel

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Base pour un Sous Espace Vectoriel

Messagepar mathématicien » Jeudi 29 Mai 2008, 13:41

Bonjour,

Soit E un SEV de $R^4$ et engendré par les vecteurs :

$a=(2,1,3,1)$ , $b=(1,2,0,1)$ et $c=(-1,1,-3,0)$

Comment est quelle sont les étapes a suivre pour :

1- Trouver une base pour E.
2- Trouver la dimention de E
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Re: Base pour un Sous Espace Vectoriel

Messagepar balf » Jeudi 29 Mai 2008, 13:58

La méthode générale consiste à :
1) écrire la matrice dont les lignes sont les coordonnées des trois vecteurs.
2) utiliser la méthode du pivot de Gauss (opérations élémentaires sur les lignes) pour transformer cette matrice en une matrice qui soit triangulaire supérieure. On obtient ainsi des lignes qui sont les coordonnées de vecteurs combinaisons linéaires des vecteurs de départ.
3) La dimension est le nombre de lignes non nulles dans la matrice obtenue. La base est constituée par les vecteurs non nuls correspondants.

B.A.
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Re: Base pour un Sous Espace Vectoriel

Messagepar OG » Jeudi 29 Mai 2008, 14:04

Bonjour

Question méthode il faudrait d'abord voir dans le cours
et avec un peu de métier dans ce cas particulier on voit
rapidement.
Disons qu'une méthode consiste à écrire les 3 vecteurs en colonne
et avec des combinaisons linéaires sur les colonnes de faire apparaître
des zéros au dessus de la diagonale.
L'idée générale est que quand on a système de vecteurs
$(1,\cdot), (0,1,\cdots), (0,0,1,\cdots)$ la dimension et une basse
sont faciles à déterminer... Bien sûr il faut savoir que si
l'espace engendrée par $e_1$, $e_2$ et $e_3$ est le même que
celui engendré par $e_1$, $e_2+\lambda e_1$, $e_3+\beta e_2+\gamma e_3$
et que l'on a le droit de permuter deux vecteurs...
Ici j'écris

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\1 & 2 & 1 \\3 & 0 & -3 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$


j'ajoute $-1/2$ colonne 1 à colonne 2, $1/2$ colonne 1 à colonne 3

$$\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\1 & 3/2 & 3/2 \\3 & -3/2 & -3/2 \\1 & 1/2 & 1/2\end{pmatrix}$$


j'ajoute $-1$ colonne 2 à colonne 3:

$$\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\1 & 3/2 & 0 \\3 & -3/2 & 0 \\1 & 1/2 & 0\end{pmatrix}$$



Et là (comme l' a dit Balf) la dimension est 2, et une base possible sont
les deux vecteurs écrits plus haut.
Comme l'a dit aussi balf tout peut se faire sur les lignes.

Cordialement
O.G. ravi d'avoir fait un pivot de Gauss
OG
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Re: Base pour un Sous Espace Vectoriel

Messagepar mathématicien » Jeudi 29 Mai 2008, 14:22

merci :D :D
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Re: Base pour un Sous Espace Vectoriel

Messagepar surjay » Jeudi 29 Mai 2008, 15:31

Intuitivement, tu peux aussi t'apercevoir que c = b-a et que a n'est pas proportionnel à b.
L'espace est donc entièrement engendré par {a,b}, une base de ton EV.

Mais pourquoi faire simple lorsque l'on peut faire compliqué :|
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