Base et dimension

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Base et dimension

Messagepar noluck » Vendredi 09 Mars 2007, 20:34

Bonsoir, c'est encore moi, en finissant mon exo, je me suis retrouvé face à un dilemme.

Voici l'ennoncé:

Soit D le sous espace vectoriel de R^2 defini par

D= { ( x,y) appartenant à R^2 / x - 3y=o}

donc on me demande de montrer que D est un sous espace vectoriel, donc ça je l'ai fait
Par contre aprés l'on me demande de donner une base de D et de préciser sa dimension
Et ça par contre, je ne sais pas du tout comment faire
Donc j'aurais bien aimé que quelqu'un me donne une marche à suivre type, que je pourrais utiliser dans tout les exercices du même type ( car en général ce sont toujours les mêmes questions qui sont posées)

Je vous remercie d'avance.
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Messagepar Arnaud » Vendredi 09 Mars 2007, 20:37

D'un point de vue purement intuitif, que représente cet ensemble ? et donc sa dimension ?
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Pas d'aide en MP (non plus)
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Messagepar jobherzt » Vendredi 09 Mars 2007, 20:43

la, trouver la dimension n'est pas tres difficile. c'est un sous espace de $\R^2$, donc la dimension ne peut qu'etre 0,1 ou 2. ca ne peut pas etre 0 car $D$ contient des elements non nuls (a verifier !) et ca ne peut pas etre 2 sinon ca serait $\R^2$ tout entier. donc c'est 1.

en fait, l'idee (atention, c'est une maniere de voir ce qu'il se passe, ca ne donne pas de certitudes) c'est que tu pars d'un espace d'une certaine dimension, et a chaque fois que tu a une equation de ce type, tu ajoutes une "contrainte", qui "empeche" certains vecteurs d'etre dans $D$. donc a chaque fois que tu ajoute une equation, en general la dimension baisse de 1. c'est pour ca que dans l'espace, il faut une equation pour decrire un plan, et 2 pour decrire une droite.

ensuite, dans ton cas, pour trouver une base, il suffit de trouver un seul vecteur. comme tu dois avoir $x=3y$, tu poses arbitrairement que $y$ vaut 1 et dans ce cas $x$ vaut 3.
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Messagepar noluck » Vendredi 09 Mars 2007, 20:46

ok je vois ou tu veux en venir, mais j'arrive pas à voir comment je vais pouvoir rédiger cela sur ma feuille
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Messagepar jobherzt » Vendredi 09 Mars 2007, 22:46

en fait c'est assez simple : tu sais qu'un vecteur $v=(a,b)$ appartient a $D$ si et seulement si $a=3b$ (par definition de $D$). donc tu peux rempcaer a par 3b, donc $D$ est l'ensemble des vecteurs de la forme $(3b,b)$, en gros tu as une equation pour 2 inconnues, donc tu as une infinité de solution. donc tu peux ecrire que

$$D=\{(3b,b), b\in \R\}$$



donc tu verifie qu'il est de dimension 1, donc n'importe quel vecteur non nul de $D$ est une base. donc tu donnes une valeur a b, n'importe laquelle et c'est bon.
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Messagepar guiguiche » Samedi 10 Mars 2007, 08:58

jobherzt a écrit:

$$D=\{(3b,b), b\in \R\}$$


d'où :

$$D=\{b(3,1), b\in \R\}$$


$$D=\text{Vect}((3,1))$$


et tu conclus.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar jobherzt » Samedi 10 Mars 2007, 09:15

merci guiguiche, je m'empatouillait dans mes explications.

noluck, retiens ceci : dans ce genre d'exercice type, tu te ramenes simplement a resoudre un systeme avec generalement plus d'inconnus que d'equations. l'ensemble de toutes les solutions est le sous espace vectoriel que tu cherches.
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