[IUT] Asymptotes, matrices et système linéaire

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[IUT] Asymptotes, matrices et système linéaire

Messagepar treizia » Lundi 04 Juin 2007, 20:50

Bonjour à tous,


Voila je revise pour passer un concours, mais j'ai quelques soucis concernant quelques questions sur les matrices et sur les asymptotes.

En effet, trois des questions sont les suivantes :

1) Soit la fonction :

f(x) = (e^-x)/(x²-3x+2)

Déterminer le nombre d'asymptotes.

Donc j'aimerai savoir concrétement la démarche à mener avec ce type de questions.
Recherches des limites ? En quels points? la méthode la plus simple et la plus efficace pour parvenir à la solution?

2) x et y sont deux réels quelconques et A une matrice réelle symétrique telle que :

[x,y] x A x (x)* = x² + 2y² + 4xy
(y)

(* je précise que ca représente une matrice 1 colonne de ligne tel que 1,1 = x et 1,2=y :o )

Encore une fois, je ne recherche pas la solution (je l'ai) mais plutot la méthode de calcul.

Enfin une derniere question:

3) Les système linéaire ci-aprés de 3 équations à 3 inconnues (x,y,z) :

2x + y + 4z = 3
x + 2y + z = 1
x - y + 3z = a

est compatible si et seulement si :

a = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ou autre.

Voila je ne sais pas comment réussir à trouver la solution.



Un grand merci pour votre aide car elle me sera trés utile.
Encore merci,
Cordialement.
treizia
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Re: [IUT] Asymptotes, matrices et système linéaire

Messagepar Tryphon » Lundi 04 Juin 2007, 21:02

treizia a écrit:Bonjour à tous,


Voila je revise pour passer un concours, mais j'ai quelques soucis concernant quelques questions sur les matrices et sur les asymptotes.

En effet, trois des questions sont les suivantes :

1) Soit la fonction :

f(x) = (e^-x)/(x²-3x+2)

Déterminer le nombre d'asymptotes.

Donc j'aimerai savoir concrétement la démarche à mener avec ce type de questions.
Recherches des limites ? En quels points? la méthode la plus simple et la plus efficace pour parvenir à la solution?


si asymptotes il y a, elles sont aux bornes de l'ensemble de définition. Par exemple, si cet ensemble est $]-\infty ; 1[ \cap ]1;2[ \cap ]2;+\infty[$ (mais c'est vraiment un exemple hein) les asymptotes sont à rechercher en $-\infty$ ; $1$ ; $2$ et $+\infty$.

Attention : en $+$ et $-\infty$, il peut y avoir une asymptote horizontale (tu regardes la limite de $f(x)$) ou une asymptote oblique (tu regardes la limite éventuelle de $f(x)/x$ - mettons $a$ - puis celle de $f(x) - ax$).
Pas de questions en MP
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Messagepar treizia » Lundi 04 Juin 2007, 21:30

Merci beaucoup pour cette réponse claire et détaillée.

Vraiment merci !

Si des gens peuvent m'aider pour le reste ce serait avec plaisir.

Merci :!
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Messagepar treizia » Mardi 05 Juin 2007, 15:17

je recherche toujours de l'aide :oops:
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Messagepar Valvino » Mardi 05 Juin 2007, 16:10

3) Les système linéaire ci-après de 3 équations à 3 inconnues (x,y,z) :

2x + y + 4z = 3
x + 2y + z = 1
x - y + 3z = a

est compatible si et seulement si :

a = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ou autre. Voila je ne sais pas comment réussir à trouver la solution.


Tu as deux méthodes.
Soit tu exprimes les variables les unes par rapport aux autres: $x=a+y-3z$ (d'après $L_3$) puis tu réinjecte l'expression de $x$ dans une autre équation etc...

Ou bien la plus simple à mon sens, le faire à la "Gauss":
Tu ne changes pas les solutions d'un système en ajoutant à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes. Donc si je fais $L_2-L_3\rightarrow L_3$ ca donne à la deuxième ligne $3y-2z=1-a$, je n'ai plus de $x$. Il suffit de continuer pour obtenir la valeur exact d'une des variables.

Essaye si tu n'y arrives pas je posterai la démo complète.

2) x et y sont deux réels quelconques et A une matrice réelle symétrique telle que :

[x,y] x A x (x)* = x² + 2y² + 4xy
(y)

(* je précise que ca représente une matrice 1 colonne de ligne tel que 1,1 = x et 1,2=y Surprised )

Encore une fois, je ne recherche pas la solution (je l'ai) mais plutot la méthode de calcul.


Heu là je comprend rien, essaye plutôt avec LaTeX! http://www.mathematex.net/phpBB2/posting.php?mode=latex2
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Messagepar treizia » Mardi 05 Juin 2007, 17:58

Tout d'abord un grand merci pour ton aide, et pour le temps que tu me consacres.

Je veux bien que tu me postes ta méthode compléte de résolution pou rle 2), et effectivement, je pense aussi que Gauss est la meilleure approche.

Pour le 3), voici :

x et y sont deux réels quelconques et A une matrice réelle symétrique telle que :


[x,y] x A x $\begin{pmatrix}  x \\ y  \end{pmatrix}$ = x² + 2y² + 4xy

Que vaut A ?


Encore merci pour tout !! vraiment !
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Messagepar Valvino » Mercredi 06 Juin 2007, 09:20

J'applique Gauss:

$ \left\{ \begin{array}{l} 
 2x+y+4z=3 \\ 
 x+2y+z=1 \\
 x-y+3z=a
  \end{array} \right.} $

$ \left\{ \begin{array}{l} 
 0-3y+2z=1 \quad L_1-2L_2 \rightarrow L_1\\ 
 x+2y+z=1 \\
 0-3y+2z=a-1 \quad L_3-L_2 \rightarrow L_3
  \end{array} \right.} $

Donc si je compare $L_1$ et $L_3$ j'obtient que le système est compatible ssi $a=2$. Or on voit qu'on a deux lignes identiques. Je vais donc en supprimer une et exprimer les autres en fonction d'un paramètre $t$ en posant $z=t$ (même chose si les deux lignes sont proportionnelles).

$ \left\{ \begin{array}{l} 
 -3y+2t=1 \\ 
 x+2y+t=1 \\
 z=t 
  \end{array} \right.} $

$ \left\{ \begin{array}{l} 
 x=5/3-7/3t \\ 
 y=-1/3+2/3t \\
 z=t 
  \end{array} \right.} $

Les solutions $S$ sont donc:
$S=\emptyset$ si $a \neq 2$
$S=\{(5/3-7/3t,-1/3+2/3t,t),~t \in \R\}$ si $a=2$

Voilà :wink:


Sinon pour l'autre question que désigne $[x,y]$?
Valvino
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Messagepar treizia » Vendredi 08 Juin 2007, 20:26

Merci pour Gauss !!

Et pour la 3) c'est bon j'ai réussi à la résoudre :)

[ x ; y ] représentait en fait une matrice une ligne deux colonnes, le ; et les [ ] étant surement une erreur de syntaxe du livre (qui en est rempli)

En tout cas merci pour tout 8)
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