Approximation d'une solution d'une EDP ellitptique

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Approximation d'une solution d'une EDP ellitptique

Messagepar pihro » Mardi 18 Novembre 2014, 16:30

Bonjour,

Je m'intéresse à l'EDP suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{rcll} -\Delta u-u+u^3&=&0& \text{dans } \Omega \\ \partial_n u&=&0& \text{sur } \partial\Omega \end{array} \right. $$



J'aimerais en déterminer une solution approchée par la méthode des éléments finis. Mon problème est que je ne suis pas sûr que cela soit légitime. En effet, ce problème admet plusieurs solutions (1,-1,0 sont des solutions évidentes). Je me demande donc comment faire pour prouver qu'une solution obtenue par la méthode des éléments finis converge vers une solution de ce problème ? Je n'ai vu jusque là que des preuves où la solution était unique et où l'on majorait la différence entre cette solution et une approximation de cette solution. Je ne vois pas du tout comment faire lorsque le problème admet plusieurs solutions..

Je me permets également une autre question, plus théorique.. Peut-on montrer que les seules solutions de l'EDP présentée sont constantes ? J'ai réussi à montrer que cela est vrai si l'on impose $|u|\geq 1$ ou $0<u\leq 1$ par exemple, mais je n'ai pas réussi à conclure dans le cas général.

En vous remerciant par avant,
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Re: Approximation d'une solution d'une EDP ellitptique

Messagepar OG » Mercredi 19 Novembre 2014, 22:35

Bonsoir

Effectivement pas sûr que cela soit légitime. Quelle dimension ? $\Omega$ quelconque ?
Je n'ai pas regardé la version éléments finis mais si le pb continu admet plusieurs solutions,
il n'y a pas de raison que cela soit différent dans le cas discret. Sauf à pouvoir choisir
une des solutions discrètes, il n'y a pas de raison d'avoir convergence. Éventuellement
avec des estimations a priori la convergence d'une sous suite.
Une idée serait peut-être d'ajouter une pénalisation au pb discret qui s'efface quand le pas de discrétisation tend vers 0.

C'est bien des conditions de Neumann ?
Pour la question plus théorique, il faudrait regarder du côté du principe du maximum,
ou prendre des fonctions tests du type $(u-1)^+$, etc.


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