Approximation affine

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Approximation affine

Messagepar pisfot » Dimanche 06 Janvier 2008, 04:40

Bonjour,

Je ne me souviens plus comment on fait l'approximation affine, or mes cahiers ne sont pas ici, alors si quelqu'un peut m'aider, je serai reconnaissante.

Il faut que je fasse l'approximation affine de ces équations:

:arrow: $L=( \dfrac{3}{2}  \cdot   \dfrac{W}{P \cdot AK \uparrow 1/3})\uparrow -3$

Sachant que lnA=1 et K=1

Désolée je sais pas comment on fait la puissance mais c'est K à la puissance 1/3 et l'équation est à la puissance -3

:arrow: $Y=12,5 \cdot  \dfrac{P}{W}$

:arrow: $Y=AL \uparrow 2/3$

C'est AL à la puissance 2/3

Merci,
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Re: Approximation affine

Messagepar rebouxo » Dimanche 06 Janvier 2008, 09:39

Désolée je sais pas comment on fait la puissance mais c'est K à la puissance 1/3 et l'équation est à la puissance -3


le code
Code: Tout sélectionner
$K^{\frac{1}{3}}$

donne
$K^{\frac{1}{3}}$

Bon, c'est quoi la variable, car si tu veux une approximation affine, il faut savoir de quelle variable.

Déjà si je lis bien, $K=1$, donc ton expression ce simplifie.

Olivier
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Re: Approximation affine

Messagepar pisfot » Lundi 07 Janvier 2008, 02:35

Si tu veux c'est une suite d'un exo, après avoir trouvé:

$L={( \dfrac{3}{2} \cdot  \dfrac{W}{PA{K^ {\frac{1}{3}}} })}^{-3}$

On doit faire son approximation affine.

Ils disent que le résultat doit être du genre ci-dessous mais je n'ai rien compris.

$( \dfrac{L-L_0}{L_0})L_0=-3( \dfrac{W-W_0}{W_0})L_0+3( \dfrac{P-P_0}{P_0})L_0+3 (\dfrac{A-A_0}{A_0})L_0$

Comment on peut avoir ce résultat? Mais la suite, c'est OK car on doit avoir

Sachant que $\dfrac{W-W_0}{W_0}=w;  \dfrac{P-P_0}{P_0}=p;  \dfrac{A-A_0}{A_0}=a$, on aura

$-3wL_0+3pL_0+3aL_0=L-L_0$

$\dfrac{L-L_0}{L_0}=-3w+3p+3a$

$l=-3w+3p+3a$

Merci,
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Re: Approximation affine

Messagepar balf » Lundi 07 Janvier 2008, 13:11

Ça vient apparemment d'un exercice de physique ou de chimie ? Si on considère $W, P, A$ comme des fonctions d'une autre variable, on a une justification rapide en utilisant les dérivées logarithmiques. Sin on les considère come des variables indépendantes, il faut faire du calcul différentiel à plusieurs variables :
$dL=\frac{\partial L}{\partial W}dW +\frac{\partial L}{\partial P}dP +\frac{\partial L}{\partial A}dA$
et en remplaçant $dL$ par $L-L_0$, $dW$ par $W-W_0$, etc.
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Re: Approximation affine

Messagepar pisfot » Lundi 07 Janvier 2008, 14:18

C'est un exo de macroéconomie, mais je suis bloquée sur l'approximation affine.
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Messagepar balf » Lundi 07 Janvier 2008, 17:01

Vous avez eu des cours de calcul différentiel (à plusieurs variables), je suppose ? Vous calculez les dérivées partielles au point $(W_0, P_0, A_0)$, $K$ étant considéré comme constante. On a, p. ex., en utilisant la dérivation logarithmique pour simplifier le calcul, et en notant ${L^\prime}_{W_0}=\frac{\partial L}{\partial W} (W_0,P_0,A_0)$ :
$\displaystyle\frac{L^\prime_{W_0}}{L_0}=-\frac{3}{W_0}$, donc ${L^\prime}_{W_0}=\dots$
et de même pour les autres dérivées partielles (revoir si nécessaire les règles de dérivation logarithmique). Il ne reste qu'appliquer la formule d'approximation affine à plusieurs variables (message précédent) et à récrire un peu ce qu'on obtient. Ne pas oublier qu'en première approximation, $dL\approx L-L_0$.

B.A.
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Re: Approximation affine

Messagepar pisfot » Mardi 08 Janvier 2008, 02:05

OK merci, je vais voir et je reviens si quelques choses m'échappent.
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