Applications linéaires et bases duales

par **ArtyBours** » Lundi 23 Novembre 2015, 10:30

Bonjour,

J'aurais souhaité savoir si mon raisonnement était bon, notamment pour les deux dernières questions:

On considère les espaces vectoriels suivants, munis chacun de deux bases :
- E = $R_{2} [X]$ , de bases $B = (1;X;X^2) $

et

- F = $R_{1}[X]$ , de bases $C = (1;X)$

et

.

Soit f : E -> F l’application linéaire donnée par la matrice $M =\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ dans les bases B et C.

1) On désigne M' la matrice de f dans les bases B' et C'.
(a)Donner la matrice P de passage de B à B' et Q de C à C'.
On a:
$P=\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Et

$Q=\quad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

(b) Quelle est la relation entre M, P, Q et M' ? Utiliser cette relation pour calculer M'.
On a: $M'=Q^{-1}MP= \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

2. Soit E* le dual de E et (h(1); h(2), h(3)) la base duale de B'.
(a) Pour le polynôme p = aX² + bX + c, déterminer les expressions de h(p), h(p) et h(p) en fonction de a, b, c.

On a:
$h_{1}(1+X)=1,\ h_{1}(1+X^2)=0,\ h_{1}(1+X+X^2)=0$
$h_{2}(1+X)=0,\ h_{2}(1+X^2)=1,\ h_{2}(1+X+X^2)=0$
$h_{3}(1+X)=0,\ h_{3}(1+X^2)=0,\ h_{3}(1+X+X^2)=1$

p est tel que:
$p=aX^2+bX+c=u(1+X)+v(1+X^2 )+w(1+X+X^2)$

$p=aX^2+bX+c=u(1+X)+v(1+X^2 )+w(1+X+X^2)$

Soit, il suffit de résoudre le système suivant:
v+w=a
u+w=b
u+v+w=c

D'où l'on a :
$h_1 (p)=c-a$

(b) Soit G l’application qui à tout p de E associe f(p)(1). Montrer que G est un élément de E* et donner ses coordonnées dans la base (h(1),h(2),h(3))
On a :
$M'= \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad$

et

$h_1(p)=c-a$

d’où les coordonnées de f(p) dans C’ sont

$M'\ *\ \quad \begin{pmatrix} h_1(p) & h_2(p) & h_3(p)\end{pmatrix} \quad=\quad \begin{pmatrix} c-a & c-b \end{pmatrix}\quad$

Donc f(p)=(c-a)(1-X)+(c-b)(2X-1)
et f(p(1)=(c-a)(1-1)+(c-b)(2*1-1)=c-b

c-b est un réel.

On a $E= R_{2}[X]$ et son dual $E^{*}=L(R_{2}[X],R)$ est l’ensemble des applications linéaires de $R_{2}[X]$ sur $R$

.
Comme G est linéaire, et que G part de $R_{2}[X]$ sur $R$

(c-d est réel), G appartient à $E^*=L(R_2 [X],R)$

.

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