J'aurais souhaité savoir si mon raisonnement était bon, notamment pour les deux dernières questions:
On considère les espaces vectoriels suivants, munis chacun de deux bases :
- E =
- F =
Soit f : E -> F l’application linéaire donnée par la matrice
1) On désigne M' la matrice de f dans les bases B' et C'.
(a)Donner la matrice P de passage de B à B' et Q de C à C'.
On a:
Et
(b) Quelle est la relation entre M, P, Q et M' ? Utiliser cette relation pour calculer M'.
On a:
2. Soit E* le dual de E et (h(1); h(2), h(3)) la base duale de B'.
(a) Pour le polynôme p = aX² + bX + c, déterminer les expressions de h(p), h(p) et h(p) en fonction de a, b, c.
On a:
p est tel que:
Soit, il suffit de résoudre le système suivant:
v+w=a
u+w=b
u+v+w=c
D'où l'on a :
(b) Soit G l’application qui à tout p de E associe f(p)(1). Montrer que G est un élément de E* et donner ses coordonnées dans la base (h(1),h(2),h(3))
On a :
et
d’où les coordonnées de f(p) dans C’ sont
Donc f(p)=(c-a)(1-X)+(c-b)(2X-1)
et f(p(1)=(c-a)(1-1)+(c-b)(2*1-1)=c-b
c-b est un réel.
On a
Comme G est linéaire, et que G part de