[L1] Application linéaire

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[L1] Application linéaire

Messagepar Tolbo » Mardi 01 Avril 2008, 23:41

Bonsoir,

Soit K un corps commutatif. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f : E -> E une application linéaire.
Comment montrer que f est injective <=> f est surjective.

J'ai fais ceci pour montrer <=

f surjective => $(y_1\in E => \exists x_1 \in E $ telle que $f(x_1)=y_1)$

et $(y_2\in E => \exists x_2 \in E $ telle que $f(x_2)=y_2)$

donc $f(x_1)=f(x_2) =>f(x_1-x_2)=0$
Et je voudrais savoir si je peux en déduire que $x_1-x_2=0$ et donc $x_1=x_2$ et donc f est injective.
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Re: [L1] Application Linéaire

Messagepar balf » Mercredi 02 Avril 2008, 00:26

Non, pas de cette façon. D'abord vous n'utilisez pas la dimension finie, et le résultat est faux en dimension infinie. Il faut partir du théorème du rang.

B.A.
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Re: [L1] Application Linéaire

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 16:00

Alors d'après le théorème du rang on a $dim(ker f )=0$, il est donc réduit à un point.

On suppose f surjective donc suposons qu'il existe $x_1$ telle que $f(x_1)=0$ et $x_2$ tel que $f(x_2)=0$ (car $0\in E=Im(f)$

Donc comme f est linéaire, $f(x_1-x_2)=0$

or comme $ker f$ est réduit à un point on à $x_1=x_2=x_1-x_2=0$ donc $ker f=\{0\}$

donc f injective

Maintenant supposons f injective et montrons f surjective

f est surjective si et seulement si son ensemble image se confond avec son ensemble d'arrivée.

Or comme $dim (ker f)=0$ d'après le théorème du rang $dim(Im f)= Dim E$ donc f est surjective
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Re: [L1] Application Linéaire

Messagepar balf » Jeudi 03 Avril 2008, 21:51

On peut pas mal élaguer la première partie : si dim(Ker f)=0, c'est que Ker f={0}, et ceci caractérise les applications linéaires injectives.
Pour la réciproque, dim(Im f)=dim E ne suffit pas à avoir Im f =E, il faut encore faire la remarque préalable que Im f est inclus dans E. Ça va de soi,f étant un endomorphisme, mais ça va encore mieux en le disant.

B.A.
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Re: [L1] Application Linéaire

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 21:54

Merci, je savais qu'il manquait quelque chose dans la seconde partie mais je ne savais pas quoi.
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Re: [L1] Application Linéaire

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 22:12

Mais je viens de me rendre compte que du coup f est toujours injectif et qu'on utilise nul part le fait que f est surjectif pour montrer que f est injective.
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Re: [L1] Application Linéaire

Messagepar balf » Jeudi 03 Avril 2008, 22:28

Mais si : le théorème du rang implique alors que dim(Ker f)=0.

B.A.
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