[L1] Application linéaire

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[L1] Application linéaire

Messagepar TakTak » Mercredi 12 Décembre 2007, 11:32

Bonjour,

Je voudrais savoir comment montrer qu'une application linéaire est unique mais aussi qu'elle est injective ou surjective .
C'est pour pouvoir faire le premier exo de cette serie

http://mercip6.free.fr/cours/lm120_td4.pdf
Dernière édition par TakTak le Mercredi 12 Décembre 2007, 12:06, édité 1 fois.
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Re: [L1]Application linéaire

Messagepar guiguiche » Mercredi 12 Décembre 2007, 11:38

Théorème usuel : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$ et si $(f_1,\dots,f_n)$ est une famille quelconque de $F$ alors il existe une unique application linéaire $u$ telle que $u(e_i)=f_i$ pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$.
Si, de plus, la famille $(f_1,\dots,f_n)$ n'est pas trop quelconque, alors on peut en dire plus sur $u$, comme demandé dans ton exercice.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: [L1]Application linéaire

Messagepar TakTak » Mercredi 12 Décembre 2007, 11:42

Il y a un rapport avec la dimension de l'image je suppose.
J'aurais dit que si $ker (u)=0$ alors u est injective
Est-ce bon ?
Mais pour montrer qu'une fonction est surjective
si dimension de l'image vaut n alors u est surjective .

Mais alors d'après le théoreme du rang $ n= dim(ker(u)) + dim (Im(u)) $ donc $ker(u)=0 $ entraîne $dim(Im)=n$
est donc que toute fonction injective est surjective ce qui ne va pas .

(en faite je pense avoir compris mon erreur, l'équivalence que j('ai écrit en haut n'est valable que pour un endomorphisme)
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Re: [L1]Application linéaire

Messagepar guiguiche » Mercredi 12 Décembre 2007, 13:40

Un endomorphisme est bijectif si et seulement si l'image d'une base est une base.
Il y a aussi des résultats avec des familles libres ou génératrices.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: [L1] Application linéaire

Messagepar Juan » Mercredi 12 Décembre 2007, 16:04

TakTak a écrit:J'aurais dit que si $ker (u)=0$ alors u est injective
Est-ce bon ?)

Oui sauf qu'on écrit plutôt Ker (u)= {0}

TakTak a écrit: toute fonction injective est surjective

Oui
Si f est une application linéaire d'un ev de dim finie dans un autre ev de même dimension, alors
f injective<=>f surjective<=>f bijective (c'est effectivement un corollaire du théorème du rang)

Pour avoir cette équivalence il faut vérifier que l'espace de départ et d'arrivée sont de dimension finie et qu'ils ont même dimension. Le fait que ce soit un endomorphisme ne change rien. Par exemple, si tu considères l'espace vectoriel de dimension infinie $\R[X]$, l'endomorphisme qui à un polynome associe sa dérivée est surjectif mais pas injectif.
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Re: [L1] Application linéaire

Messagepar TakTak » Mercredi 12 Décembre 2007, 16:15

Mais si c'est un endomorphisme, cela ne veut-il pas dire que l'espace d'arrivé et le même que l'espace de départ, et donc que dimension de l'espace d'arrivé et le même que la dimension de l'espace de départ ?????
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Re: [L1] Application linéaire

Messagepar Juan » Mercredi 12 Décembre 2007, 16:27

TakTak a écrit:Mais si c'est un endomorphisme, cela ne veut-il pas dire que l'espace d'arrivé et le même que l'espace de départ, et donc que dimension de l'espace d'arrivé et le même que la dimension de l'espace de départ ?????

Ils ont même dimension mais il faut en plus que ce soit de dimension finie (cf le contre-exemple en dimension infinie de $\R[X]$ et de l'endomorphisme qui à un polynome associe sa dérivée).
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Re: [L1] Application linéaire

Messagepar TakTak » Mercredi 12 Décembre 2007, 17:04

D'accord merci de la précision, je n'avais pas compris l'importance du fait que ce soit de dimension fini
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