Application linéaire 2

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Application linéaire 2

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 20:24

Bonsoir,

Soit $\phi : \R^n \rightarrow \R^n$ une application telle que $\phi^n=0 $ mais $\phi ^{n-1}\ne 0$.
Soit $v \in \R^n$ un vecteur tel que $\phi^{n-1}(v)\ne 0.$
J'aimerai montrer que $\{v,\phi (v), . . ., \phi ^{n-1} v\}$ est libre et génératrice de $\R^n$
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar Valvino » Jeudi 03 Avril 2008, 20:28

Quelle est la définition d'une famille libre? A partir de ca, tu vas avoir une relation qui relie les éléments de ta famille. Ensuite, essaye de voir ce que tu peux en faire, en rapport avec $\phi$ bien sûr!
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 21:00

Je dois montrer que $a_0v+a_1f(v)+...+a_n_-_1f^n^-^1=0=>a_0=...=a_n_-_1=0$
(j'ai remplacer $\phi$ par $f$ c'est plus simple à taper)
Alors voici ce que j'avais fait sans réussir à conclure


$a_0v+a_1f(v)+...+a_n_-_1f^n^-^1=0=>a_0v+a_1f(v)+...+a_n_-_1f^n^-^1=f^n$

$=>f^n(a_0v+a_1f(v)+...+a_n_-_1f^n^-^1)=f^n(f^n)=0$
ou encore

$=>f^n^-^1(a_0v+a_1f(v)+...+a_n_-_1f^n^-^1)=f^n^-^1(f^n)=f^n^-^1(0)$

$=> a_0f^n^-^1(v)+f^n(v)+...+f^n(f^n^-^2(v))=f^n^-^1(0)$

$=>a_0f^n^-^1(v)=f^n^-^1(0)$ sachant que $f^n^-^1(v)\ne 0$

Mais il me reste a montrer que $f^n^-^1(0)=0$ pour montrer que $a_0=0$ et ensuite montrer par récurrence ? que c'est vrai pour tout $a_n$

Mais je n'y arrive

Et je crains d'être sûr une mauvaise piste
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Avril 2008, 21:28

$f^{n-1}$ est une application linéaire donc $f^{n-1}(0)=$?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar balf » Jeudi 03 Avril 2008, 21:45

La première implication ne sert à rien ($...=0 \Rightarrow ...=f^n$ : « multiplier » à gauche par $f^{n-1}$ directement suffit. Pour les autres, on fait une récurrence descendante, en multipliant par la puissance $f^{n-k}$ idoine.
B.A.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 21:46

0 bien sûr!

Bon je me lance dans la récurrence.
Soit Pm l'assertion $a_0=...=a_m=0, (m<n)$

Initialisation ...
Hérédité:

Comme Pm est vraie on a : $a_m_+_1f^m^+^1+...+a_n_-_1f^n^-^1=0$

donc en multipliant les 2 membres par $f^n^-^m$ on a $a_m_+_1=0$

Pm est donc vrai pour tout $1\le m<n$ donc la famille est libre

Reste plus qu'à montrer que c'est générateur.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Avril 2008, 21:48

OK pour la récurrence
Tolbo a écrit:Reste plus qu'à montrer que c'est générateur.

Est-ce bien nécessaire ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 21:50

Suffit de dire que comme la famille à n membre et qu'elle est libre elle est forcément générateur.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Avril 2008, 21:51

oui
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar balf » Jeudi 03 Avril 2008, 22:09

Pas si vite ! Il ya une petite erreur : ce n'est pas par $f^{n-m}$ qu'on multiplie. Puis, il ne faudrait pas oublier les v...

B.A.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Avril 2008, 22:17

exact, je lis trop vite.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 22:19

Il faut multiplier par $f^n^-^m^-^1$
Mais pour les v j'ai juste oublier de les mettre mais le résultat reste le même?
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Avril 2008, 22:23

hum, -2 ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar Tolbo » Jeudi 03 Avril 2008, 22:24

-2? pourquoi ?

C'est $f^n$ qui est nul et non $f^n^-^1$

Ah oui je viens de comprendre merci.
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Re: Application Linéaire_2

Messagepar balf » Jeudi 03 Avril 2008, 22:26

Pour les v, j'avais compris... Mais ce n'est pas $f^{n-m-1}$ non plus (il est vrai que c'est souvent $-1$ ou $+1$...)

Ah ! Pendant que je réponds, guiguiche a donné la réponse

B.A.
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