Application et borne sup

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Application et borne sup

Messagepar Kazik » Dimanche 20 Novembre 2005, 22:03

Bonsoir,

voici un autre probleme :

$\rm f: [a,b] \to \mathbb{R}$

Montrer que $\rm sup_{a<x<b} f(x) \le sup_{a\le x\le b} f(x)$ en montrant que $\rm sup_{a\le x\le b} f(x)$ est un majorant de f sur ]a,b[

ceci OK.

Maintenant on donne$\rm f(x_0)= sup_{a\le x\le b} f(x)$ avec $\rm x_0\in [a,b]$ : montrer que $f(x_0)= sup_{a< x< b} f(x)$ en distinguant les cas$\rm x_0\in ]a,b[, x_0=a et x_0=b$ ;

Il est indiquer de considérer la suite $\rm a_n=a+\frac{1}{n}$ et d'etudier $\rm (f(a_n))_n$

Ici je bloque !

J'ai ceci :
$\rm \lim_{n\to+\infty} a_n=a$
Donc :
$\rm \lim_{n\to+\infty} f(a_n)=f(a)$

mais je ne vois pas comment arriver au résultat

pouvez vous m'aidez ?
Kazik
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Re: Application et borne sup

Messagepar sotwafits » Dimanche 20 Novembre 2005, 23:16

Kazik a écrit:Maintenant on donne$\rm f(x_0)= sup_{a\le x\le b} f(x)$ avec $\rm x_0\in [a,b]$ : montrer que $f(x_0)= sup_{a< x< b} f(x)$ en distinguant les cas$\rm x_0\in ]a,b[, x_0=a et x_0=b$ ;

Le résultat est faux : prends $f=0$ sur $]a,b[$ et $f=1$ en $a$ et en $b$
sotwafits
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Messagepar stokastik pas connecté » Lundi 21 Novembre 2005, 13:54

Le résultat est vrai si f est continue.
stokastik pas connecté
 


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