[MPSI] application/ensembles

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[MPSI] application/ensembles

Messagepar 2hell » Mardi 27 Septembre 2005, 20:09

voila une nouvelle fois en galère, j'ai un exercice sur lequel je bloque : soient f une application d'un ensemble E vers un ensemble F et g une application de F vers E
on suppose que l'application $f \circ g \circ f$ est bijective.

1/ Démontrer que f est bijective
2/ En déduire que g est bijective aussi

merci d'avance

P.S promis je me met au latex pendant les vacances (actuellement je me bat avec mapple) i apologize sory... :cry:
pour toujours en galère
2hell
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Messagepar MB » Mardi 27 Septembre 2005, 20:23

On peut commencer par montrer que $f$ est surjective. On considère alors $y \in F$. Comme $f \circ g \circ f$ est bijective (de $E$ dans $F$), il existe $x \in E$ tel que $f \circ g \circ f (x) = y$. On a donc bien : $f(g \circ f(x)) = y$ et $f$ est bien surjective.

On montre ensuite que $f$ est injective. On considère donc $x$ et $x'$ dans $E$ tels que $f(x)=f(x')$. On a donc $f \circ g \circ f(x)=f \circ g \circ  f(x')$. La fonction $f \circ g \circ f$ étant bijective, on a $x=x'$ et $f$ est bien injective.

La fonction $f$ est donc bijective. Je suppose que l'on peut faire le même type de preuve pour $g$ et j'espère ne pas avoir fait d'erreur dans la précipitation.
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Messagepar P.Fradin » Mardi 27 Septembre 2005, 21:55

MB a écrit:On peut commencer par montrer que $f$ est surjective. On considère alors $y \in F$. Comme $f \circ g \circ f$ est bijective (de $E$ dans $F$), il existe $x \in E$ tel que $f \circ g \circ f (x) = y$. On a donc bien : $f(g \circ f(x)) = y$ et $f$ est bien surjective.

On montre ensuite que $f$ est injective. On considère donc $x$ et $x'$ dans $E$ tels que $f(x)=f(x')$. On a donc $f \circ g \circ f(x)=f \circ g \circ  f(x')$. La fonction $f \circ g \circ f$ étant bijective, on a $x=x'$ et $f$ est bien injective.

La fonction $f$ est donc bijective. Je suppose que l'on peut faire le même type de preuve pour $g$ et j'espère ne pas avoir fait d'erreur dans la précipitation.


Pour $g$, il suffit d'écrire ensuite ($f$ étant bijective) que $g=f^{-1} \circ [f\circ g\circ f]\circ f^{-1}$, composée de bijections...
P.Fradin
 


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