Anneau quotient

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Anneau quotient

Messagepar ptah sokar » Lundi 18 Juin 2007, 10:17

Bonjour a tous !

Le sujet qui suit a été l'un des exos de mon partiel sur la matière " Anneaux ", exos que j'ai bien entendu totalement planté... Si vous pouviez m'éclairer sur la plupart des points ce serait vraiment sympa, car je rame beaucoup...
Je mets pas les raisonnements que j'ai fais sauf sur demande, car vu le peu de choses que j'ai faite la dessus... hum... ^^

Sujet :

On note A l'anneau quotient A= R[X]/($X^3$ -1) et $q_A$ la surjection canonique de R[X] sur A.
On note B l'anneau quotient B= R[X]/($X^2$ +X+1) et $q_B$ la surjection canonique de R[X] sur B.

1) L'anneau A est il intègre ? Si oui le prouver, si non, exhiber un diviseur de zéro dans A.

2) L'anneau B est il un corps ?

3) On construit une application $\phi$ de A dans B de la façon suivante : si a = $q_A$ (P) $\in$ A (classe modulo $X^3$ -1), on pose $\phi$ (a)=$q_B$ (P)

a - Montrer que $\phi$ est bien définie.
b - Montrer $\phi$ est un homomorphisme d'anneaux.
c - Montrer que $\phi$ est surjectif

4) Montrer que Ker $\phi$ est un idéal maximal de A

5) Montrer que Ker $\phi$ est principal et en donner un générateur

__________________________

2) comme B est un anneau il faut regarder si tout élément non nul de B est inversible.

3)
a - Je pensais montrer que si $q_A$ (P) = $q_A$ (Q) alors $q_B$ (P) = $q_B$ (Q)

b - Ici il faut montrer que $\phi$ (a+b) = $\phi$ (a) + $\phi$ (b) et que $\phi$ (a.b) = $\phi$ (a).$\phi$ (b)

c - La je dois montrer que pour n'importe quel élément pris dans B on peux lui trouver un antécédent dans A

4) Pour montrer que ker $\phi$ est un idéal maximal de A je dois montrer que si ker $\phi$ est un inclus ou égal à A alors ker $\phi$ = A

5) La par contre je ne sais pas trop...

Je pense avoir les méthodes, mais l'application me pose problème, enfin peut-êter que mes bases ici sont mauvaises, corrigez moi...

Merci à tous !
ptah sokar
Déca-utilisateur
 
Messages: 15
Inscription: Lundi 18 Juin 2007, 10:15

Publicité

Re: Anneau quotient

Messagepar candide » Lundi 18 Juin 2007, 11:49

ptah sokar a écrit:Le sujet qui suit a été l'un des exos de mon partiel sur la matière " Anneaux "


L2, L3 ?

ptah sokar a écrit:1) L'anneau A est il intègre ? Si oui le prouver, si non, exhiber un diviseur de zéro dans A.

Factoriser non trivialement $X^3-1$.
ptah sokar a écrit:2) L'anneau B est il un corps ?

Regarder l'irréductibilité sur $\R$ de $X^2+X+1$.


ptah sokar a écrit: a - Montrer que $\phi$ est bien définie.

$X^2+X+1$ divise $X^3-1$.

ptah sokar a écrit: b - Montrer $\phi$ est un homomorphisme d'anneaux.
c - Montrer que $\phi$ est surjectif

Faciles.

ptah sokar a écrit:5) Montrer que Ker $\phi$ est principal et en donner un générateur

Je crois que c'est évident : engendré par $q_A(X^2+X+1)$.


ptah sokar a écrit:4) Montrer que Ker $\phi$ est un idéal maximal de A

On peut le faire a la mano (Bézout, etc) mais plus simple : appliquer le théorème d'isomorphisme à $\phi$ et utiliser que $B$ est un corps.
candide
Hecto-utilisateur
 
Messages: 72
Inscription: Mercredi 30 Mai 2007, 23:41

Messagepar ptah sokar » Lundi 18 Juin 2007, 17:56

:lol: merci beaucoup, c'est en effet beaucoup plus clair ! Et c'est une matière de L3 !
ptah sokar
Déca-utilisateur
 
Messages: 15
Inscription: Lundi 18 Juin 2007, 10:15


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 1 invité