Analyse numérique

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Analyse numérique

Messagepar miss diva » Lundi 30 Avril 2007, 15:03

bonjour. Pouvez vous m'aider à faire l'exercice suivant SVP:

Sur l'espace C([-1,1]), on considère le produit scalaire
<f,g>= (intégrale de -1 à 1) f(x)g(x)(1+x^2)dx

1) Déterminer une base de P3(R) orthogonale pour ce produit scalaire.

2) En déduire des points x1,x2 puis des constantes a et b tels que la formule de quadrature:
(intégrale de -1 à 1) f(x)(1+x^2)dx~af(x1)+bf(x2)
soit vraie pour f appartenant à P3(R)


Je sais résoudre la question 1) mais pour la 2ème je ne sais pas du tout comment faire... Merci de me donner un coup de main...
miss diva
Utilisateur
 
Messages: 4
Inscription: Lundi 30 Avril 2007, 15:01

Publicité

Messagepar rebouxo » Lundi 30 Avril 2007, 15:22

Pourrais-tu utiliser le mode LaTeX, c'est illisible là.
Olivier
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6909
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar FA » Lundi 30 Avril 2007, 15:33

Que signifie le symbole '~'?
FA
Déca-utilisateur
 
Messages: 16
Inscription: Lundi 23 Avril 2007, 16:42

Messagepar miss diva » Lundi 30 Avril 2007, 15:38

le symbole ~ que j'ai utilisé signifie "environ égal"
miss diva
Utilisateur
 
Messages: 4
Inscription: Lundi 30 Avril 2007, 15:01

Messagepar miss diva » Lundi 30 Avril 2007, 15:41

Sur l'espace C([-1,1]), on considère le produit scalaire

$$<f,g>=  \int f(x)g(x)(1+x^2)dx$$



1) Déterminer une base de P3(R) orthogonale pour ce produit scalaire.

2) En déduire des points x1,x2 puis des constantes a et b tels que la formule de quadrature:

$$\int  f(x)(1+x^2)dx \approx af(x_1)+bf(x_2)$$



soit vraie pour f appartenant à P3(R)

NB: les intégrales "vont de" -1 à 1 \approx
miss diva
Utilisateur
 
Messages: 4
Inscription: Lundi 30 Avril 2007, 15:01

Messagepar miss diva » Lundi 30 Avril 2007, 18:30

Pouvez vous m'aider SVP?

j'ai trouvé la base orthogonale (P0,P1,P2,P3) telle que:
P0(X)=1
P1(X)=$X-1/3$
P2(X)=$X^2-2/5$
P3(X)=$X^3-(9/14)X$

Comment fait-on pour la 2ème question?
miss diva
Utilisateur
 
Messages: 4
Inscription: Lundi 30 Avril 2007, 15:01

Re: analyse numérique

Messagepar guiguiche » Lundi 30 Avril 2007, 19:09

miss diva a écrit:1) Déterminer une base de P3(R) orthogonale pour ce produit scalaire.

Au risque de paraître bête, c'est quoi cet ensemble ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8063
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar FA » Lundi 30 Avril 2007, 21:14

j'ai l'impression que c'est $\ R_3 [X]$.
FA
Déca-utilisateur
 
Messages: 16
Inscription: Lundi 23 Avril 2007, 16:42

Messagepar FA » Lundi 30 Avril 2007, 21:43

En remplaçant successivement f par $P_0$; $P_0 \times \ P_1$ ; $P_0 \times P_2$ ; $P_0 \times P_3$; on obtient un système de 4 équations dont les inconnues sont a,b, $x_1$ , $x_2$.

C'est juste une idée.
FA
Déca-utilisateur
 
Messages: 16
Inscription: Lundi 23 Avril 2007, 16:42

Messagepar davou03 » Lundi 30 Avril 2007, 23:20

Salut.
Pour la question 1) est-ce que ce ne serait pas plutôt : $P_1(X) = X$ ?
davou03
Hecto-utilisateur
 
Messages: 52
Inscription: Jeudi 01 Février 2007, 00:53

Messagepar davou03 » Mardi 01 Mai 2007, 00:20

Pour la question 2), écris f dans la base précédente :

$$f =a_0P_0+a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3.$$


Puis exprime l'égalité souhaitée (c'est une vraie égalité et pas une approximation...) en gardant a, b, $x_1$ et $x_2$ comme paramètres.
Ensuite, sachant que l'égalité est toujours vraie, dis que les coefficients de $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$ sont nuls : tu obtiens un système non linéaire de 4 équations.
Enfin quelques petites manipulations (du genre polynômes symétriques) et tu devrais tomber sur le résultat...
Dernière remarque : en utilisant cette écriture pour f, et sachant que la base est orthogonale, le calcul de l'intégrale est très simple.
davou03
Hecto-utilisateur
 
Messages: 52
Inscription: Jeudi 01 Février 2007, 00:53

Messagepar OG » Jeudi 03 Mai 2007, 15:38

Bonjour

je n'ai pas vérifié les calculs de $P_0$, $P_1$, $P_2$ et $P_3$, mais vu le précédent commentaire il faudrait vérifier !
Pour éviter un calcul lourd on peut écrire que $\int (x-a_1)P_2(x)(1+x^2) dx=0$
ce qui dit que $x_2$ est nécessairement une racine de $P_2$, idem pour $x_1$. Une fois que $x_1$ et $x_2$ sont déterminés c'est facile d'avoir $a$ et $b$ en exprimant que la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 1.

Et finalement pour conclure, une fois que $a$ et $b$ sont déterminés, par division euclidienne de n'importe quel polynôme de degré au plus 3 par $P_2$ on démontre que la formule est exacte.

Tout ceci est très lié aux histoires de produit scalaire (polynôme+intégrale), racines de la base orthogonale dans l'intervalle d'intégration etc...

Cordialement
O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2272
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Messagepar DIEGO72 » Vendredi 11 Mai 2007, 18:06

Si tu as le livre de Demailly ou Crouzeix Mignot il y a un chapitre sur ce theme. La théorie dit qu'en utilisant les polynomes orthogonaux, on a un ordre d'approximation maximum (2n+1) en prenant pour xi les racines des polynomes et pour coefficients l'intégrale des polynomes d'interpolations de lagrange (polynome qui s'annule sur tout les points sauf celui considéré ou il vaut 1); Ici normalement P3 a 3 racines réelles sur l'intervalle ce qui donne les 3 xi et pour les coeff on calcul l'intégrale avec w3=(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2) etc
DIEGO72
Utilisateur
 
Messages: 2
Inscription: Mardi 17 Avril 2007, 14:22


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Google [Bot] et 4 invités

cron