[L3] Algèbrestabilisateur et indice d'un groupe

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[L3] Algèbrestabilisateur et indice d'un groupe

Messagepar themoskito » Mardi 24 Mars 2009, 22:36

Bonjour,

J'ai un peu de mal en algèbre car ca fait un moment que je n'en ai pas fait... Donc un peu (beaucoup) d'aide ne serait pas de refus... Voici l'énoncé :

Soient $H$ un sous-groupe d'un groupe finit $G$. On considère l'ensemble $E$ des sous-groupes de $G$ conjugués à $H$. Autrement dit, $P \in E$ s'il existe $g \in G$ tel que $P=gHg^-^1$ . On considère enfin l'action de $G$ sur $E$ définies par $g.P=g.P.g^-^1$
1) Montrer que le sous-groupe $H$ de $G$ est dans le stabilisateur de l'élément $H$ de $E$
2) En déduire que le cardinal de $E$ divise l'indice $[G:H]$ de $H$ dans $G$

Merci à vous
themoskito
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Re: [L3] Algèbrestabilisateur et indice d'un groupe

Messagepar balf » Mercredi 25 Mars 2009, 02:12

Pour la question 1), il faut montrer que h.H = H quel que soit h dans H. Il me semble que l'une des inclusions est évidente. Quant à l'autre, il suffit de regarder si chaque élément de H est conjugué d'un autre élément de H via l'action de H. On peut dire aussi que si on a un inclusion, on a en fait l'égalité, car le groupe est fini, et l'action d'un élément de H est un automorphisme de G, de sorte que h.H et H ont le même nombre d'éléments.

Pour 2), juste cette indication : E est l'orbite de H sous l'action de G.

B.A.
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