Algèbre

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Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 11:06

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:

Soit la forme quadratique sur R^3: q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz

1) Réduire cette forme quadratique.
2) Donner f la forme bilinéaire associée. Est-ce qu'elle définit un produit scalaire?
3) Existe-t-il une base orthogonale pour f? orthonormée pour f? (Si oui, en donner une).

Je suis déjà bloquer pour la 1ère question je n'arrive pas réduire la forme quadratique, voici ce que j'ai fais pour l'instant:

q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz= (x-y)²+z²+2xz+2yz=(x-y)²+(x+z)²-x²+2yz...
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Re: Algèbre

Messagepar Nouillette » Dimanche 29 Mars 2009, 11:37

Salut,

q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz
Il ne faut pas réduire une forme quadratique comme tu l'as fait. Il faut regrouper les termes en x par exemple, car les carrés doivent être linéairement indépendants.

Ceci donne :
$\begin{aligned} x^2-2xy+2xz+y^2+2yz+z^2 &=[x^2+2x(z-y)]+y^2+2yz+z^2 \\ &=(x+(z-y)]^2-(z-y)^2+y^2+2yz+z^2 \\ &=(x+z-y)^2-(y-z)^2+(y+z)^2 \end{aligned}$

voili
L'eau en poudre : ajouter de l'eau pour avoir de l'eau.
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Re: Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 12:03

ok merci :oops:

pour f je trouve

x1y1+x2y2+x3y3-x1y2-y1x2+x1y3+x3y1+x2y3+y2x3

c'est juste?
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Re: Algèbre

Messagepar Nouillette » Dimanche 29 Mars 2009, 12:11

minidiane a écrit:ok merci :oops:

pour f je trouve

x1y1+x2y2+x3y3-x1y2-y1x2+x1y3+x3y1+x2y3+y2x3

c'est juste?

vi ;)

par contre, pour les questions suivantes, je ne sais plus comment faire :oops:
L'eau en poudre : ajouter de l'eau pour avoir de l'eau.
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Re: Algèbre

Messagepar guiguiche » Dimanche 29 Mars 2009, 12:20

Écris la matrice symétrique associée à la forme bilinéaire puis réduis là dans une base orthonormale.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 13:08

Je trouve $P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\  0&-1&1\\  0&1&1\\  \end{pmatrix}$

et$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\  0&-1/2&1/2\\  0&1/2&1/2\\  \end{pmatrix}$

et $tPMP=\begin{pmatrix}1&2&0\\  2&3&0\\  0&0&1\\  \end{pmatrix}$

est-ce que c'est juste?
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Re: Algèbre

Messagepar guiguiche » Dimanche 29 Mars 2009, 13:26

Ta matrice P n'est pas orthogonale donc c'est faux. Et à la fin, on doit avoir une matrice diagonale !
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 13:35

Je n'arrive pas à trouver une matrice diagonal, que ce soit en passant par un système que par les matrice directement. :(
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Re: Algèbre

Messagepar kojak » Dimanche 29 Mars 2009, 13:57

bonjour,

tu trouves quoi comme valeurs propres à ta matrice ? d'ailleurs tu peux l'écrire ta matrice ? et tes vecteurs propres ?
pas d'aide par MP
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Re: Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 14:01

Je trouve en refaisant les calcul en partant de$P^{-1}$

$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\  0&-1&1\\  0&1&1\\  \end{pmatrix}$

et$P=\begin{pmatrix}1&1&-1\\  0&-1/2&1/2\\  0&1/2&1/2\\  \end{pmatrix}$

et $tPMP=\begin{pmatrix}1&2&-1\\  2&3&-2\\  -1&-2&0\\  \end{pmatrix}$

ça marche toujours pas.
Je ne vois pas comment trouver les valeurs propres
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Re: Algèbre

Messagepar kojak » Dimanche 29 Mars 2009, 14:04

minidiane a écrit:Je ne vois pas comment trouver les valeurs propres
Euh... t'as pas ça dans ton cours.
De plus, il faudrait savoir de quelle matrice tu cherches les valeurs et vecteurs propres, car pour l'instant tu ne l'as écrite nulle part :wink:
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Re: Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 14:06

En fait c'est ça mon problème je ne sais pas qu'elle matrice utiliser :oops:
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Re: Algèbre

Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 14:08

A moins qu'il s'agisse de M
$M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\  -1&1&1\\  1&1&1\\  \end{pmatrix}$
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Re: Algèbre

Messagepar kojak » Dimanche 29 Mars 2009, 14:10

Si j'ai bien lu, oui c'est bien de $M$ dont on parle :wink:
M est symétrique réelle donc ...
donc recherche des valeurs propres à l'aide du ...
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Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 14:14

ok je trouve
$\frac{2-\sqrt{8}}{2}$ et $\frac{2+\sqrt{8}}{2}$
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Messagepar Nouillette » Dimanche 29 Mars 2009, 14:16

minidiane a écrit:ok je trouve
$\frac{2-\sqrt{8}}{2}$ et $\frac{2+\sqrt{8}}{2}$

Ce qui se simplifie en $1\pm \sqrt{2}$ (plus agréable à voir xD)
L'eau en poudre : ajouter de l'eau pour avoir de l'eau.
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Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 14:17

Merci, par contre je ne sais pas comment rechercher les vecteurs propres :oops:
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Messagepar kojak » Dimanche 29 Mars 2009, 14:21

Xcas ne me donne pas ça : elles sont simples :wink:
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Messagepar minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 18:28

Je trouve -1 et 2
est-ce que c'est juste?

pour les vecteurs propres je trouve pour -1: x=-z et y=-z
pour 2: x=-y et z =0

est-ce que c'est juste?
Et après je ne sais pas quoi en faire
minidiane
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Messagepar kojak » Dimanche 29 Mars 2009, 19:20

minidiane a écrit:Je trouve -1 et 2
Oui,


minidiane a écrit:pour les vecteurs propres je trouve pour -1: x=-z et y=-z
pour 2: x=-y et z =0
ce n'est pas fini car tu n'as pas de coordonnées encore.
minidiane a écrit:est-ce que c'est juste?
J'ai un doute vu ce que me donne Xcas, sauf pour $-1$.
minidiane a écrit:Et après je ne sais pas quoi en faire
relire ton cours : pour la valeur propre 2 qui est double, tu obtiens quoi ? un plan ou une droite ?
ensuite, il faut vérifier que tu as bien une base orthonormale donc il reste un peu de boulot :wink:
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