Algèbre !

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Algèbre !

Messagepar Pedro » Vendredi 18 Avril 2008, 22:08

Bonjour :
Je vous explique le problème :
Soit $ k $ un corps commutatif. $ k_{n}[X] $ est l'anneau des polynômes à coefficients dans $ k $ de degré $ \leq n $.
$ \forall a \in k_{n}[X],\ \exists (a_{i})_{i = 0,\ldots,n} \in k^{n} : a = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_{i}.X^{i} $ ... et on note : $ a = (a_{0},\ldots,a_{n}) $ ...
$ k[X] $ forme une $ k $-algèbre, et est muni des opérations : $ et $ telles que : $ \forall a,b \in k_{n}[X] : a + b = (a_{0} + b_{0} , \ldots , a_{n} + b_{n}) $ et $ a . b = \big((a \star b)_{0} , \ldots ,(a \star b)_{n})\big) $ ( $\star$ : l'opération produit de convolution discret ( i.e : $(a \star b)_{n} = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_{i}.b_{n-i} )$ ) ...
Alors, je voudrais savoir votre avis sur l'idée suivante ...
Est-ce que l'opération de la multiplication de $ a $ et $b $ ( i.e : $a.b$ ) ne peut se soumettre à de nouvelles modifications :
Alors, la remarque qu'on peut tirer de tous ce bagage là c'est que l'opération multiplication n'est qu'un cas particulier d'autres multiplications possibles ... j'explique comment :
On a :
$ \forall a , b \in k_{n}[X] : a.b = (a_{0},\ldots,a_{n}).(b_{0},\ldots,b_{n}) = \big((a \star b)_{0} , \ldots ,(a \star b)_{n})\big) \in k_{n}[X] $ ...
Donc : "." n'est en fait qu'une application parmi d'autres qu'on peut construire en se basant sur la même idée :
La première idée qui me vient à l'esprit, c'est que le produit de convolution ressemble un peu au produit scalaire si on suit les mêmes notations que j'ai écrites ci-dessus ...
Bref, on peut écrire tout simplement :
$\forall a , b \in k_{n}[X]: a.b = (a_{0},\ldots,a_{n}).(b_{0},\ldots,b_{n}) = \big((a \star b)_{0} , \ldots ,(a \star b)_{n}\big) = \Big(\displaystyle \sum_{i=0}^{0} a_{i}.b_{0-i},\ldots,\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_{i}.b_{n-i} \Big) = $
$\qquad \qquad = \Big(\displaystyle \sum_{i=0}^{0} a_{i}.b_{\sigma(0)},\ldots,\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_{i}.b_{\sigma(i)}\Big) \in k_{n}[X] $ avec : $\sigma = \begin{pmatrix} 0 & \dots & i & \dots & n \\  n & \dots & n - i & \dots & 0  \end{pmatrix} $
Et donc, on peut faire d'autres permutations possibles : $\sigma \in \frak{S}_{n} $ ... et comme ça, avoir plusieurs façons de définir le produit de deux polynômes ... avec : $ \sigma = \begin{pmatrix} 0 & \dots & i & \dots & n \\  \sigma(0) & \dots & \sigma(i) & \dots & \sigma(n)  \end{pmatrix} $

Le cas qui correspond au produit scalaire est le cas trivial qui est relatif à l'identité : $ \sigma = \mathrm{id}_{\{1,\ldots,n\}} $ ... et donc, factoriser suivant tous ces produits que je viens de définir ...
Bref, on définit la loi suivante : $ \star_{\sigma} $ telle que : $ \forall a , b \in k_{n}[X]$
$a \star_{\sigma} b = ( a \star_{\sigma_{1}} b , \ldots , a \star_{\sigma_{n}} b ) = \big(\displaystyle \sum_{i=0}^{0} a_{i}.b_{\sigma(0)},\ldots,\sum_{i=0}^{n} a_{i}.b_{\sigma(i)} \Big) = \big( (< a,\varphi (b) > )_{0}, \ldots , ( < a, \varphi(b) > )_{n} \big) = $
$ \qquad \qquad = \Big(\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_{i}.b_{\sigma(0)}.\delta_{i, \sigma(i)}),\ldots, \sum_{i=0}^{n} a_{i}.b_{\sigma(i)}. \delta_{i, \sigma(i)}\Big) $ ...
avec $ \varphi $ un automorphisme de $ k^{n} $ tel que : $ \forall i = 1,\ldots, n :\varphi(e_{i}) = e_{\sigma(i)} $ ...
Est-ce que cela peut servir à la factorisation des polynômes au moyen de ces nouvelles lois internes ainsi définies ...

Sur ce, je vous souhaite une très bonne soirée à tous, et je vous laisse découvrir un truc super joli sur le lien suivant :
http://www.bladi.net/forum/120302-nancy ... iza-jalal/
Merci d'avance de votre aide !
Pedro
Kilo-utilisateur
 
Messages: 226
Inscription: Dimanche 27 Mai 2007, 17:45

Publicité

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message
  • Algèbre
    1, 2, 3par minidiane » Dimanche 29 Mars 2009, 11:06
    42 Réponses
    2154 Vus
    Dernier message par guiguiche Voir le dernier message
    Mardi 31 Mars 2009, 21:50
  • Un peu d'algèbre
    1, 2par themoskito » Jeudi 23 Avril 2009, 20:26
    26 Réponses
    1637 Vus
    Dernier message par MC Voir le dernier message
    Dimanche 10 Mai 2009, 09:47
  • Algèbre
    par AYADI » Jeudi 05 Novembre 2009, 15:52
    1 Réponses
    425 Vus
    Dernier message par guiguiche Voir le dernier message
    Jeudi 05 Novembre 2009, 22:18
  • [MP] Algèbre
    par raptors » Lundi 27 Juin 2011, 17:29
    5 Réponses
    895 Vus
    Dernier message par Pasvupaspris Voir le dernier message
    Jeudi 07 Juillet 2011, 19:00
  • C*ALGEBRE
    par toni » Jeudi 26 Décembre 2013, 10:38
    3 Réponses
    632 Vus
    Dernier message par OG Voir le dernier message
    Samedi 28 Décembre 2013, 14:39

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Ahrefs [Bot] et 3 invités