[MP] Algèbre

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[MP] Algèbre

Messagepar raptors » Lundi 27 Juin 2011, 17:29

Bonjour,

J'ai un petit problème pour finir un exercice, voici l'énoncé :
Que dire de la trace d'une matrice A de $M_n(R)$ vérifiant $A^2=I_n$ et A différent de $I_n$.

J'ai nommé $A=(a_{i,j})$ et $A^2=(c_{i,j})$

$$c_{i,j}=\ds\sum_{k=1}^n\ a_{i,k} a_{k,j}$$



$$tr(A^2)=\ds\sum_{i=1}^n \ c_{i,i}=\ds\sum_{i=1}^n \ds\sum_{k=1}^n \ a_{i,k} a_{k,i}=n$$



et ,

$$tr(A)=\ds\sum_{i=1}^n \ a_{i,i}$$



Je ne vois pas comment avancer par la suite.

Je peux également dire que $A=A^{-1}$ mais je ne vois pas ou ça pourrait me mener.

Merci pour votre aide.
PS : sur chaque signe sigma il faut remplacer "l'infini" par "n", je n'ai pas réussi a le faire en Latex :roll:
Dernière édition par MB le Lundi 27 Juin 2011, 20:46, édité 1 fois.
Raison: Formules modifiées.
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Re: [MP] Algèbre

Messagepar girdav » Lundi 27 Juin 2011, 17:51

Bonjour,
les valeurs propres de $A$ ne peuvent être que $-1$ ou $1$. Le polynôme minimal est scindé donc la matrice est diagonalisable. On peut atteindre les valeurs $n-2k$ avec $1\leq k\leq n$ (prendre le nombre adéquat de $-1$ dans la diagonale) et ce sont les seules (on le vérifie par le fait que la trace est invariante par changement de base).
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Re: [MP] Algèbre

Messagepar raptors » Mardi 28 Juin 2011, 20:25

Merci pour votre réponse.

On peut atteindre les valeurs $n-2k$ avec $1\leq k\leq n$ (prendre le nombre adéquat de $-1$ dans la diagonale) et ce sont les seules


Je ne comprends pas ce que vous voulez dire :?

La matrice $A$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont parmi les -1 et 1 d'après la 2ème CNS. Néanmoins on ne peut pas en savoir beaucoup plus sur leur disposition dans la matrice diagonale, juste que la diagonale sera composée que de ces seules valeurs propres ?
Je ne comprends peut être pas bien ce qu'ils veulent savoir par "Que dire de la trace d'une matrice A de $M_n(R)$"

(on le vérifie par le fait que la trace est invariante par changement de base).

C'est la propriété qui dit que deux matrices semblables ont la même trace ?
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Re: [MP] Algèbre

Messagepar girdav » Mardi 28 Juin 2011, 20:32

raptors a écrit:Merci pour votre réponse.

On peut atteindre les valeurs $n-2k$ avec $1\leq k\leq n$ (prendre le nombre adéquat de $-1$ dans la diagonale) et ce sont les seules


Je ne comprends pas ce que vous voulez dire :?

Si tu prends une matrice diagonale qui a $k$ "$-1$" sur la diagonale et $n-k$ "$1$" alors le carré de cette matrice est l'identité et la trace de cette matrice est $-k+n-k =n-2k$. On peut prendre $k$ parmi les valeurs $1,\ldots,n$ (mais on ne peut pas prendre $0$ sinon on a l'identité).
raptors a écrit:La matrice $A$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont parmi les -1 et 1 d'après la 2ème CNS. Néanmoins on ne peut pas en savoir beaucoup plus sur leur disposition dans la matrice diagonale, juste que la diagonale sera composée que de ces seules valeurs propres ?
Je ne comprends peut être pas bien ce qu'ils veulent savoir par "Que dire de la trace d'une matrice A de $M_n(R)$"

Peu importe la disposition sur la diagonale puisque l'on ne s'intéresse qu'à la trace. Je suis d'accord, l'énoncé est assez ambigu, on a envie de dire "Oui, mais de quel point de vue ?".
raptors a écrit:
(on le vérifie par le fait que la trace est invariante par changement de base).

C'est la propriété qui dit que deux matrices semblables ont la même trace ?
Oui.
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Re: [MP] Algèbre

Messagepar raptors » Mardi 28 Juin 2011, 20:45

D'accord j'ai compris. :D

J'étais parti sur une mauvaise piste dès le début.
Merci pour votre aide.
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Re: [MP] Algèbre

Messagepar Pasvupaspris » Jeudi 07 Juillet 2011, 19:00

On peut simplement dire que A est une matrice de symétrie et donc si on prend une base de Ker(s-Id) et de Ker(s+Id) on a que des 1 et des -1. On obtient le même résultat mais sans forcément parler de réduction.
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