algebre : questions de bases

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algebre : questions de bases

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Juin 2013, 16:14

Bonjour.
J'ai quelques questions simples auxquelles je devrai pouvoir répondre seul...

$\Z/8\Z$ est un groupe abélien : pourquoi ?
Je ne comprends pas trop la notion de groupe semi-direct : qu'est ce que c'est et à quelle problématique cela répond ?
Merci de votre aide.
paspythagore
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Re: algebre : questions de bases

Messagepar balf » Dimanche 09 Juin 2013, 19:26

paspythagore a écrit:$\Z/8\Z$ est un groupe abélien : pourquoi ?

C'est un quotient du groupe Z, lequel est abélien, si je ne m'abuse.
Je ne comprends pas trop la notion de groupe semi-direct : qu'est ce que c'est et à quelle problématique cela répond ?

Il s'agit, je suppose, du produit semi-direct de groupes. Il s'agit, en quelque sorte d'un produit direct de groupes, mais dont la loi de groupe est « tordue » par l'action de l'un des facteurs sur l'autre.
Pour être plus précis, on a deux groupes H, K et un morphisme φ : K → Aut(H) ; notons φₖ plutôt que φ(k). On définit alors le produit dans H × K par :
(h,k)(h',k') = (h φₖ(h'),kk')
On vérifie que cela définit bien une loi de groupe sur l'ensemble produit H × K. Le cas où φₖ est l'identité de H quel que soit k correspond au produit direct usuel.

Il s'agit là du produit semi-direct « externe » : les deux groupes H et K n'ont a priori pas de rapport entre eux. Il existe aussi un produit semi-direct interne, qui est un cas particulier du précédent : H est un sous-groupe distingué d'un groupe G, K un sous-groupe (quelconque) de G. Comme H est distingué, K opère sur H par conjugaison — ce qui définit un morphisme de K dans Aut(H). Le produit devient alors :
(h,k)(h',k') = (hkh'k⁻¹,kk')
Dans ce dernier cas, on vérifie que G est produit semi-direct interne de H (distingué) par K si et seulement si H ∩ K = {1} et G = HK.

Deux exemples de produits semi-directs : le groupe diédral Dₙ (d'ordre 2n) est le produit semi-direct du groupe cyclique d'ordre n (correspondant géométriquement aux rotations) par le groupe cyclique d'ordre 2 (correspondant aux réflexions). Le groupe affine d'un espace vectoriel E de dimension n est le produit semi-direct de E par GL(E).

B.A.
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Re: algebre : questions de bases

Messagepar woodoo » Dimanche 09 Juin 2013, 19:30

Hello,

pour ta première question, oui $\Z/8\Z$ est un groupe abélien. D'ailleurs tu peux généraliser ça en disant que $\Z/nZ$ est abélien.
Dans l'idée, c'est que $3 + 2 = 2 + 3$.
Soient $a, b$ deux entiers. On a que
a (mod n) + b (mod n) = a + b (mod n) = b + a (mod n) = b (mod n) + a (mod n).
D'où $\Z/n\Z$ est abélien.
Bon, après pour montrer que c'est un groupe abélien, tu devrais montrer que la loi (ici l'addition) est un loi interne sur $\Z/n\Z$, c'est-à-dire une application. Ensuite il faudrait montrer l'associativité, l'existence d'un élément neutre, et l'existence d'un inverse. Là tu aurais montré que c'est un groupe, et ensuite il te reste à montrer que ce groupe est abélien.

Pour la deuxième question, je suis désolé mais je ne peux pas t'aider.

Bonne soirée!
woodoo
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Re: algebre : questions de bases

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Juin 2013, 21:29

Merci.
La première question est comprise. Pour la seconde, ça va mieux.
paspythagore
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