[Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

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[Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar A.D. » Mardi 21 Octobre 2008, 19:17

Bonsoir.

Je suis actuellement en première année de master ingénierie mathématiques, et dans le cadre d'un devoir je dois réaliser une ACP (=Analyse en Composantes Principales) avec le logiciel de statistiques R.
En cours, nous avons vu comment réaliser une ACP de manière "théorique", mais j'avoue que c'est un peu brouillon dans ma tête, c'est pourquoi j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait me donner les étapes exactes à suivre pour effectuer une ACP (recherche de la moyenne, centrer et réduire le tableau, etc...).
De plus, si quelqu'un sait où (si cela existe :D , car je sais que les modifications sont fréquentes) trouver un genre de lexique pour le logiciel R, je serais fortement intéréssée :)

Merci d'avance.
A.D.
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar nirosis » Mardi 21 Octobre 2008, 22:37

Salut,

pour l'ACP, les principales étapes sont:
1. Tu calcules la matrice de corrélation de ton jeu de donnée (ca c'est assez trivial)
2. Tu la diagonalises (ça doit se faire sous R mais je ne connais pas ce logiciel)
3. Tu classe les vecteurs propres en ordonnant les valeurs propres (et ça aussi c'est trivial)

En gros, c'est tout. Les vecteurs propres donnent les directions principales de ton nuage de point...
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar A.D. » Jeudi 23 Octobre 2008, 14:02

Merci pour votre réponse.

Cela dit, il me semble qu'il y a un peu plus d'étapes (d'après ce que j'ai vu à partir d'exemples).
Enfin, ne faut-il pas donner une interprétation du résultat obtenu (nuage de points) ?
Si oui, comment se fait-elle?

Cordialement.
A.D.
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar nirosis » Jeudi 23 Octobre 2008, 16:09

Par exemple,

Si tu as une seule valeur propre non nulle (ou quasiment), alors ton nuage de point est une droite (ou quasiment) dans l'espace à N dimensions.
Si tu as deux valeurs propres non nulles, donc 2 vect propres, alors ton nuage de point est dans un plan etc...

Pour en dire plus, tout dépend de la question posée ;)


Pour le nombre d'étapes, ça dépend comment on compte effectivement:
l'étape 1 peut se décomposer en plusieurs étapes du genre 1. soustraire la moyenne, 2. diviser par l'écart type, 3. créer la matrice de covariance etc.......
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar A.D. » Jeudi 23 Octobre 2008, 16:13

Merci pour cette précision, mais en fait ce que notre professeur nous a demandé, c'est d'interpréter le nuage de points une fois tracé.
Et il n'y a pas vraiment de question posée, la consigne étant : "faîtes une ACP, et n'oubliez pas l'interprétation à la fin, c'est le plus important" :?

Cordialement.
A.D.
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar rebouxo » Jeudi 23 Octobre 2008, 16:45

Je suppose qu'il sous entend par là que l'ACP te fournit des renseignements sur ta série statistiques. L'ACP te donne les composantes principales de donne comme son nom l'indique les composantes les plus importantes d'une série.

Olivier
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar OG » Jeudi 23 Octobre 2008, 17:31

Bonjour

j'ai du faire de l'ACP en maitrise avec l'exemple des cranes de loup/chiens.
Pour le nuage de points il me semble que l'on trace les deux premières coordonnées
principales dans le plan.

O.G.
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar marimar » Vendredi 24 Octobre 2008, 00:59

Bonsoir,

Alors, voici un petit commentaire sur l'ACP...
L'ACP est une méthode GEOMETRIQUE qui consiste à réduire la dimension de l'espace représentant les propriétés d'un échantillon tout en conservant l'information de l'échantillon.On cherche en fait à distinguer des groupes ayant des éléments qui se ressemblent et tels que ces groupes sont non corrélés entre eux :roll:
Exemple, Si on parle des notes d'une classe de 20 éléves dans les matières suivantes: maths, physique, français et anglais.
Une ACP permettera de distinguer deux groupes non corrélés: {maths, physique}(matières scientifiques qui se ressemblent) et {français, anglais}(catégorie: langues)...L'ACP nous dit donc qu'on pourrait représenter dans 2 axes principaux au lieu de 4...
To be continued... :wink:
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar marimar » Vendredi 24 Octobre 2008, 01:47

Algébriquement,
Soit un échantillon de n observations sur un vecteur de p variables $x=(x_1,\dots, x_p)^T$. La 1ere composante principale est donnée par: $c_1=v^T_1x$$v_1$ est choisi tel que $variance(c_1)$ soit maximum sous la contrainte $v^T_1v_1=1$ . De même, la kieme composante principale maximise $c_k=v^T_kx$ sous les contraintes:
1) $cov(c_k,c_j)=0$ pour $k>j$.
2) $v^T_kv_k=1$.
Calcul de $v_1$:
$var(c_1)=v^T_1Rv_1$ où R est la matrice de covariance (d'où la nécessité de determiner dans un premier temps la matrice de variances-covariances) pour les $x_i$. Alors $v_1$ qui maximise $var(c_1)$ sous la contrainte $v^T_1v_1=1$ est donnée par (méthode de Lagrange):
max $v^T_1Rv_1 - \lambda (v^T_1v_1 - 1)$ implique $(R - \lambda I_p)v_1=0$.
implique: $v_1$ est le vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_1$ la plus grande.
et ainsi de suite pour les autres composantes...
Finalement, le choix du nombre de composantes principales (dimension du nouvel espace) dépend de la précision que tu souhaites avoir.

Voici un lien pour un cours très détaillé si bien tu as le temps pour le lire: http://www.agroparistech.fr/IMG/pdf/ACP2006.pdf
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar nirosis » Vendredi 24 Octobre 2008, 08:21

marimar a écrit:L'ACP est une méthode GEOMETRIQUE qui consiste à réduire la dimension de l'espace représentant les propriétés d'un échantillon tout en conservant l'information de l'échantillon. [...]
Une ACP permettera de distinguer deux groupes non corrélés


C'est pour ça que c'est aussi une méthode STATISTIQUE.
C'est statistico-géométrique quoi ;)

Sinon les explications de marimar sont très bonnes, cela devrait t'aider!
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar marimar » Vendredi 24 Octobre 2008, 11:15

Bonjour,

Oui nirosis, il s'agit bien d'une méthode statistico-géometrique, et c'est justement pour ça que j'ai mis GEOMETRIQUE en caractères grands pour dire que c'est la technique géométrique qui a plus d'importance dans une ACP: A MON AVIS.... :lol:
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Re: [Master] ACP (Analyse en Composantes Principales)

Messagepar A.D. » Samedi 25 Octobre 2008, 16:42

Me voilà un peu plus éclairée. Je vais regarder le cours donné par marimar de ce pas. J'ai aussi trouvé un bon livre à ce sujet.

Merci à tous pour ces réponses :)
A.D.
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