[1S] Vecteurs et colinéarité

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[1S] Vecteurs et colinéarité

Messagepar Leslie » Samedi 25 Septembre 2010, 22:45

Bonsoir à tous,
Je suis élève en 1ère S et je rencontre un problème sur mon DM de maths. Voici l'énoncé.

Soit ABC un triangle vrai et 3 points M, N, P situés respectivement sur (AB), (BC) et (CA).
$\vect{AM} = \frac{3}{4}.\vect{AB}$ ; $\vect{BN} =  \frac{2}{3}.\vect{BC}$
(On construira une nouvelle figure en prenant par exemple : $AB=8$ , $BC=6$ et $AC=10$ unités)
1) On cherche la position que doit occuper le point P afin que M,N et P soient alignés.
Pour cela, on pose $\vect{CP} = z .\vect{CA}$, $z$ étant un réel à déterminer
a) Démontrer avec soin l'égalité $\vect{MN} = - \frac{5}{12}.\vect{AB} +  \frac{2}{3}.\vect{AC}$
b) Justifier que l'on a également $\vect{MP} = - \frac{3}{4}.\vect{AB} + (1-z) .  \vect{AC}$


Bon, alors j'ai un grand problème avec la figure à faire, notamment lorsqu'il faut placer M et N. :?
J'ai pu faire une figure, mais les égalités (question a et b) me sont fausses au calcul. J'aimerais bien avoir une petite piste, afin de m'éclairer. :)

Merci d'avance !
Dernière édition par MB le Jeudi 21 Mars 2019, 13:55, édité 7 fois.
Raison: suppression de balises $ inutiles (une en début et une en fin de relation suffisent)
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 08:41

[HS]

@MB : la commande \vect n'existe plus ? ou alors, c'est \vec qui n'a pas été redéfinie à la migration ?

[/HS]
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Mikelenain » Dimanche 26 Septembre 2010, 08:45

Tu n'arrives pas à faire la figure ??? :o :o

Que signifie les égalités suivantes concernant les points M et N : $\vec{AM}$ = $\frac{3}{4}$.$\vec{AB}$ ; $\vec{BN}$ = $\frac{2}{3}$.$\vec{BC}$ ?
1- Que les points A, M et B sont alignés et que M est aux 3/4 de [AB] en partant de A.
2- Que les points B, N et C sont alignés et que N est aux 2/3 de [BC] en partant de B.

Là, tu dois être capable de la faire, je pense.

Pour la question a) tu utilises Chasles :
$\vec {MN} = \vec {MA} + \vec {AB} + \vec {BN}$
Et ensuite, tu utilises les égalités du texte pour remplacer $\vec {MA}$ et $\vec {BN}$ par $\vec {AB}$ et $\vec {BC}$. Logiquement, tu dois arriver à l'égalité demandée.

Sinon, ça serait bien que tu nous donnes tout ce que tu as fait dans ton calcul.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 08:47

Bonjour

Leslie a écrit:Bon, alors j'ai un grand problème avec la figure à faire, notamment lorsqu'il faut placer M et N. :?


Tu veux dire que tu n'as pas su placer les points M et N ?

$\vec{AM}=\dfrac34\vec{AB}$ signifie plusieurs choses :
* comme $\dfrac34>0$ alors M appartient à la demi-droite [AB) d'origine A
* comme $\dfrac34<1$ (en plus de la positivité de la fraction) alors le point M appartient au segment [AB]
* il ne reste plus qu'à travailler en terme de"longueurs" : $AM=\dfrac34AB$

Edit : grillé
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 09:10

Bonjour,
Merci bien de vos réponses, mais je pense que je me suis mal exprimée, je pensais que ma figure était fausse car mon calcul (celui de la a) me donnait un mauvais résultat... :?
Voila comment j'avais fais :

a) $\vec{MN} = - \frac{5}{12}.\vec{AB} +  \frac{2}{3}.\vec{AC}$
$\vec{MN} = - \frac{5}{12} * 8 + \frac{2}{3} * 10$
$\vec{MN} = -3 + 6 $
$\vec{MN} = 3$

Les chiffres (8 et 10) sont ceux données pour exemple dans l'énoncé, je sais que c'est faux, alors je partais sur une idée de mauvaise figure... :mrgreen:
Bon, maintenant que je sais comment il faux procéder (merci pour la relation de Chasles, j'aurais pas trouvée ! :shock: ) voila mon calcul :

$\vec{MN} = $\vec{MA} + $\vec{AB} + $\vec{BN}$ $\vec{MN} = - \frac{5}{12}.\vec{AB} $\vec{AB} + \frac{2}{3}.\vec{BC}$

Là je bloque, une petite piste ?
Dernière édition par Leslie le Dimanche 26 Septembre 2010, 09:27, édité 4 fois.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 09:24

Une balise $ en début d'égalité et une autre tout à la fin de l'égalité.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 09:25

Leslie a écrit: $\vec{MN} = - \frac{5}{12}.\vec{AB} +  \frac{2}{3}.\vec{AC}$
$\vec{MN} = - \frac{5}{12} x 8 + \frac{2}{3} x 10$
$\vec{MN} = -3 + 6 $
$\vec{MN} = 3$

Aïe, tu mélanges vecteurs et nombres ! C'est mathématiquement faux.
Un vecteur est égal à un (autre) vecteur.
Un nombre est égal à un (autre) nombre.
Revois ta rédaction.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 09:29

Bon, tant pis, je vais faire ça sur une image que je posterais, le code bug trop ! :evil:
Voila où j'en suis maintenant :

Image

Et là je bloque, une petite piste ? :)

Merci encore.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 09:41

Pas de title et tout le toutim. Par exemple :
Code: Tout sélectionner
$ \vec{AM} = \frac{3}{4} \vec{AB} = \frac{3}{4} \vec{AC} + \frac{3}{4} \vec{CB} $


qui donne : $ \vec{AM} = \frac{3}{4} \vec{AB} = \frac{3}{4} \vec{AC} + \frac{3}{4} \vec{CB} $

Pour la multiplication, c'est \times
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 09:43

Dans ta relation, regroupe les vecteurs $\vec{AB}$ ensemble.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 10:07

Regrouper ?
J'ai fais :
$ \vec{MN} = - \frac{3}{4} \vec{AB} +  \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{BC} $
$ \vec{MN} = 0.25 \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{BC} $

Je sais que c'est faux, mais j'ai pas trop compris... :?
Leslie
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Septembre 2010, 11:01

Pourquoi veux-tu que cela soit faux ?
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 11:57

Non, mais c'est juste que je dois arriver à l'égalité donnée dans l'énoncé, mais ce n'est pas le cas, donc j'en déduis que c'est faux, 'fin, je sais pas trop... :(
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Mikelenain » Dimanche 26 Septembre 2010, 13:07

Leslie a écrit:$ \vec{MN} = 0.25 \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{BC} $

Je sais que c'est faux, mais j'ai pas trop compris... :?

Et sauf qu'on ne te demande pas en fonction de $\vec {AB}$ et de $\vec {BC}$ mais en fonction de $\vec {AB}$ et de $\vec {AC}$
Il va donc falloir que tu décomposes le $\vec {BC}$ avec Chasles en $\vec {BC} = \vec {BA} + \vec {AC}$
Du coup, ce n'est pas faux mais juste "non fini". Et là, ça devrait aller.

Au passage, le 0,25 est assez moche. Mets plutôt $\frac{1}{4}$ ;) (en plus, c'est plus facile pour calculer :) )
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 13:34

Merci bien, j'ai réussi à trouver la bonne réponse grâce à vos indications ! :D
Par contre, pour la b), le z me pose problème, j'ai la relation $\vec{CP} = z .\vec{CA}$, une piste ?
Oui, j'en demande trop, mais je travaille aussi sur le reste du DM, la partie Polynômes... :)
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Mikelenain » Dimanche 26 Septembre 2010, 14:05

Leslie a écrit:Par contre, pour la b), le z me pose problème, j'ai la relation $\vec{CP} = z .\vec{CA}$, une piste ?

Pourquoi donc ? Traite-le comme un simple nombre normal. La seule différence est que tu ne peux connaître la somme de z avec d'autres réels (ou le produit, la différence ... etc)

Là, même chose : Chasles est ton ami (le seul que tu aies dans les chapitres sur les vecteurs).
$\vec {MP} = \vec {MA} + \vec {AC} + \vec {CP}$
Ensuite, chacun des trois vecteurs du membre de droite est exprimé quelque part.

Sur le chapitre des vecteurs, c'est toujours pareil : pensez "Chasles + énoncé". Ça permet de résoudre les trois-quarts de ce type d'exercices sans forcer plus que cela.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 15:23

Oui, mais chaud de trouver la bonne relation de Chasles, si vous me l'auriez pas donné, je ne l'aurez pas trouvée....du moins j'aurais poireauté très très longtemps... :?
J'ai donc trouvée grâce à vous Mikelenain ! Merci une fois de plus !
Il faudrait que je m'entraîne sur les relations, et très vite...
Bon, il me reste 2 questions pour cette partie :

c) En déduire la valeur de z pour laquelle les vecteurs $\vec {MN}$ et $\vec {MP}$ sont colinéaires et préciser les 2 rapports de colinéarité entre $\vec {MN}$ et $\vec {MP}$

(On pourra chercher à exploiter la relation $\frac{5}{12}$ = $\frac{3}{4} * \frac{5}{9}$)

2) Déterminer les valeurs de α, β et ɣ définis comme en -A - 2° et calculer leur produit.

Où j'en suis ? Euh...bah...j'aimerais une piste, comme d'hab'... :mrgreen:
Par contre, j'ai d'autres exos du DM, je les ai fais, j'aimerais également que vous vérifiez si c'est ok ou pas. Je finis ça en premier et je vous passe les autres pour le check-up ! :)


Merci encore, c'est sympa de donner de votre temps à aider des élèves en difficultés.
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Mikelenain » Dimanche 26 Septembre 2010, 16:24

Leslie a écrit:Oui, mais chaud de trouver la bonne relation de Chasles, si vous me l'auriez pas donné, je ne l'aurez pas trouvée....du moins j'aurais poireauté très très longtemps... :?

ben pas si compliqué que cela. Tu veux une relation avec $\vec {MP}$ tu pars donc de $\vec {MP}$.
Tu as quelque chose avec $\vec {CP}$ dans ton énoncé, il faut donc que tu introduises C. Sauf que ça va te donner $\vec {MC} + \vec {CP}$. Le $\vec {CP}$ est très bien mais il faut que tu transformes le $\vec {MC}$ car tu n'as rien sur lui dans l'énoncé. Tu joues encore avec Chasles.
Tu as une relation sur $\vec {MA}$ dans l'énoncé (ou pour être plus précis sur $\vec {AM}$ mais cela revient au même) et tu veux que $\vec {AC}$ apparaîsse dans la relation finale. Le choix de A à "introduire" dans $\vec {MC}$ était donc évident.

Leslie a écrit:c) En déduire la valeur de z pour laquelle les vecteurs $\vec {MN}$ et $\vec {MP}$ sont colinéaires et préciser les 2 rapports de colinéarité entre $\vec {MN}$ et $\vec {MP}$

Si ces vecteurs sont colinéaires, il existe un réel k tel que $\vec {MN} = k \times \vec {MP}$.
Personnellement je factoriserais la relation du a) par $- \frac{3}{4}$ (grâce à l'indication, ça devrait être tout à fait possible) et celle du b) par $- \frac{3}{4}$ aussi. Ensuite, je chercherais pour quelle valeur de z on a la même expression dans les parenthèses.

Bon, je pense que tu dois pouvoir t'en sortir toute seule, désormais ;)
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Leslie » Dimanche 26 Septembre 2010, 18:31

Pour la factorisation de la a) je trouve :

$\vec{MN} = - \frac{5}{12}.\vec{AB} +  \frac{2}{3}.\vec{AC}$
$\vec{MN} = - \frac{3}{4}$ ($ \frac{5}{9}.\vec{AB} +  - \frac{8}{9}.\vec{AC}$)

Par contre, pour la b) je bloque...une piste ?

Merci encore ! :)
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Re: [1ère S] Vecteurs et colinéarités

Messagepar Mikelenain » Dimanche 26 Septembre 2010, 18:53

C'est dommage, c'est la plus simple :
$\vec{MP} = - \frac{3}{4}.\vec{AB} + (1-z) . \vec{AC}$
$\vec{MP} = - \frac{3}{4}. [ \vec{AB} + \frac{(1-z)}{- \frac{3}{4}} . \vec{AC} ]$
$\vec{MP} = - \frac{3}{4}.[ \vec{AB} + ( - \frac{4}{3} ) \times (1-z) . \vec{AC} ]$

Et ensuite, tu te débrouilles ;)
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