Valeur absolue

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Valeur absolue

Messagepar kadtex » Lundi 26 Novembre 2012, 16:12

Bonjour
Voici un Exo de première S
Montrer que pour tout réel x:
1) x<= IxI valeur absolue
2) x² <= IxI²

1) Ou bien x>0 et IxI>0 , donc x=IxI
Ou bien x<0 et IxI>0 , donc x<IxI et la combinaison des deux nous donne x<= IxI

2) Si x>=0 alors x = IxI et x² = IxI²
Si x<=0 alors x <= IxI et x² = IxI² car dans ce cas x et IxI sont opposés donc ils ont même carré. Je ne vois pas pourquoi x² serait inférieur à IxI²

Merci pour vos commentaires
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Re: valeure absolue

Messagepar balf » Lundi 26 Novembre 2012, 16:50

1) Plus exactement, si x >= 0, |x| = x par définition (enfin, tout dépend de la définition utilisée), donc …

2) On a égalité parce que, de toute façon, |x| = ±x, donc par la règle des signes…

B.A.
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Re: valeure absolue

Messagepar rebouxo » Lundi 26 Novembre 2012, 16:51

Tout simplement, que l'égalité est contenu dans l'inégalité large. Autrement dit $2 \leq 2$.
Cela dit, la deuxième inégalité ne me semble pas très intéressante. L'égalité me semble bien plus intéressante.

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Re: valeure absolue

Messagepar Framboise » Mardi 27 Novembre 2012, 01:21

Bonjour,

x² <= IxI²
GRRRRRR...
Vu que x² = IxI², on ne peut pas avoir x² < IxI²
Dire que x² <= IxI² n'est pas faux, mais pas pertinent du tout.
C'est le genre de bidule qui me donne des démangeaisons...

PS: je suppose que l'on est dans les réels ( 1ere S ).
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Re: valeure absolue

Messagepar kadtex » Jeudi 29 Novembre 2012, 17:27

bonjour
Pour les égalités, pas de problème. mon problème c'est l'inégalité
2) x² <= IxI²
Et pourquoi on n'écrirait pas x² >= IxI² ?

Et cette deuxième inégalité va servir pour démontrer encore une autre inégalité que je n'ai pas encore écrite dans le texte

On est bien dans les réels car c'est du Première S et non Terminale S

Merci
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Re: valeure absolue

Messagepar rebouxo » Jeudi 29 Novembre 2012, 23:37

ON peut c'est tout aussi inutile que l'autre.

Si il y a égalité, on peut écrire la remplacer par les inégalités au sens large.
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Re: valeure absolue

Messagepar kadtex » Vendredi 30 Novembre 2012, 11:26

Tu écris: "ON peut c'est tout aussi inutile que l'autre."
Mais alors comment on démontre que: Ix+yI² <= [ IxI + IyI ]² ?
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Re: valeure absolue

Messagepar rebouxo » Vendredi 30 Novembre 2012, 11:50

kadtex a écrit:Tu écris: "ON peut c'est tout aussi inutile que l'autre."
Mais alors comment on démontre que: Ix+yI² <= [ IxI + IyI ]² ?


Pas la même question, ici c'est une vraie inégalité. Il y a des cas ou la première somme est strictement inférieure à la deuxième et quelques cas où il y a égalité.

Il faut remarquer que $|x+y|^2 = |(x+y)^2|$. Développer la deuxième expressions. Puis appliquer l'inégalité triangulaire :
$|a+b| \geq |a|+|b|$.

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Re: valeure absolue

Messagepar balf » Vendredi 30 Novembre 2012, 14:19

Il est peut-être plus simple d'utiliser le fait que x² = |x|² et de développer tranquillement (x + y)² ; on est alors ramené à constater que xy $\leqslant$ |xy|, ce qui a été fait au début.

B.A.
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Re: valeure absolue

Messagepar rebouxo » Vendredi 30 Novembre 2012, 15:26

balf a écrit:Il est peut-être plus simple d'utiliser le fait que x² = |x|² et de développer tranquillement (x + y)² ; on est alors ramené à constater que xy $\leqslant$ |xy|, ce qui a été fait au début.

B.A.


Oui, tu as raison.
En écrivant je me disais qu'il y avait plus simple.

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