[TS] Unicité des solutions des inéquations

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[TS] Unicité des solutions des inéquations

Messagepar jashugunnm » Mardi 12 Janvier 2010, 19:35

Bonjour,
Pour la résolution d'une inéquation , j'ai doit avoir fait une erreur (bête) car j'ai deux résultats possible, mais je ne vois pas où elle est.

$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$ avec $ b > 0 $

1ère méthode:
$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$
$\ds\Leftrightarrow  2 \le \sqrt{b^2+1}+1 $
$\ds\Leftrightarrow 1 \le \sqrt{b^2+1}$
$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1} \le b^2+1$ (on multiplie par $\sqrt{b^2+1}$ des deux cotés )
$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1} -1\le b^2$

2ème méthode:
$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow  \frac{\sqrt{b^2+1}-1}{(\sqrt{b^2+1}+1)*(\sqrt{b^2+1}-1)} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b^2+1}-1}{(b^2+1)-1} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1}-1\le \frac{1}{2}*b^2$

Il y a peut être un endroit où il n'y a pas d'équivalence mais seulement une implication, mais je ne vois pas , merci de m'eclairer.
Dernière édition par MB le Vendredi 15 Janvier 2010, 00:35, édité 2 fois.
Raison: augmentation de la taille des fractions avec \ds (displaystyle)
jashugunnm
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Mardi 12 Janvier 2010, 18:58
Statut actuel: Lycée | Terminale S

Publicité

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar guiguiche » Mardi 12 Janvier 2010, 22:07

Pour la première méthode, je ne vois pas l'intérêt de multiplier par $\sqrt{b^2+1}$, il suffit d'élever au carré puisque les deux membres sont strictement positifs.
Pour la seconde méthode, la multiplication par l'expression conjuguée pose problème lorsque b=0 puisqu'elle est nulle (la multiplication par $b^2$ aussi).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8062
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar jashugunnm » Mardi 12 Janvier 2010, 22:59

comme je l'avais indiqué $b$ est strictement supérieur à $ 0$. Mon problème c'est surtout à la fin j'obtiens deux résultats différents, est-ce normal?
jashugunnm
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Mardi 12 Janvier 2010, 18:58
Statut actuel: Lycée | Terminale S

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar kojak » Mercredi 13 Janvier 2010, 16:59

Bonjour,
jashugunnm a écrit:Mon problème c'est surtout à la fin j'obtiens deux résultats différents, est-ce normal?

Et puis ? quel est le problème :?: tu cherches à faire quoi :?:

Si tu cherches à résoudre la première inéquation, tu trouves quoi comme solution suivant tes 2 méthodes :?:
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10394
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar jashugunnm » Jeudi 14 Janvier 2010, 10:44

L'énoncé était de trouver le résultat $ \ds \sqrt{b^2+1}-1\le \frac{1}{2}\times b^2 $ que j'ai obtenu avec la deuxième méthode, mais pendant un long moment j'étais bloqué car j'obtenais le premier résultat avec la première méthode.
Donc si je comprend on modifiant les inéquations avec des opérations ( multiplier, diviser, additionner, soustraire des deux cotés de l'inégalité par la même valeur) on obtient des implications entre deux étapes et non des équivalences.
jashugunnm
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Mardi 12 Janvier 2010, 18:58
Statut actuel: Lycée | Terminale S

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar rebouxo » Jeudi 14 Janvier 2010, 13:28

Les inéquations sont un poil plus pénibles. Multiplier par un négatif change le sens de l''inéquation, il faut faire attention avec les divisions par $0$. Bref, il faut vraiment faire attention.

Ici, c'est assez rapide d'étudier la fonction $f(b) = \sqrt{b^2+1}-\dfrac{1}{2}b^2$, on montre rapidement que la fonction est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, donc que $f(b)  \leq f(0) = 1$. Après tu retrouves rapidement ton inéquation. Il me semble que c'est bien plus rapide côté calculs.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6906
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar kojak » Jeudi 14 Janvier 2010, 15:54

jashugunnm a écrit:Donc si je comprend on modifiant les inéquations avec des opérations ( multiplier, diviser, additionner, soustraire des deux cotés de l'inégalité par la même valeur) on obtient des implications entre deux étapes et non des équivalences.

Ici, tu as bien équivalences.

A tu essayé de résoudre tes 2 inéquations afin de voir si tu avais bien les mêmes solutions :?:
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10394
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

Messagepar Tunaki » Jeudi 14 Janvier 2010, 22:06

Les deux méthodes sont justes.

Si tu regardes bien, ta première inégalité peut s'écrire $\alpha \le b^2$ et ta deuxième $2\alpha \le b^2$, avec $\alpha=\sqrt{b^2+1}-1$. Il n'y a pas de contradiction, la première méthode donne juste une inégalité plus large que la deuxième. Il est clair que la deuxième inégalité implique la première.
Tunaki
Giga-utilisateur
 
Messages: 660
Inscription: Mardi 12 Décembre 2006, 18:03
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur


Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Exabot [Bot] et 4 invités