Un problème d'optimisation

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Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 07:07

Bonjour voila j'ai un problème avec cet exercice. Voici l'énoncé:
On se place dans un répère rapporté à un répère orthonormal direct d'origine O. On désigne par A le point de coordonnées $(1,0)$, par M un point variable du cercle trigonométrique et d'ordonnée positive, et par M' le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
a. On note x l'abscisse des points M et M'. ($x\in \ [-1,1]$). Déterminer l'expression en fonction de x de l'aire du triangle AMM'.
B. On note $\alpha$ la mesure principale en radians de l'angle ($\vect{OA},\vect{OM}$). ($\alpha\in \ $[0,$\pi$]). Déterminer l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire du triangle AMM'.
C. Pour quelle position du point M l'aire du traingle AMM' est elle maximale? Que peut on dire du traingle AMM'? Justifier les réponses.
Voila tout d'abord je ne comprends pas trés bien ce qu'est "l'optimisation" (meme en cherchant dans mon livre ^^). Ensuite pour essayer de comprendre, j'ai fait une figure pour visualiser le problème. Est ce que pour la premiere question il faut mettre en coordonnées polaires ? Pour la question c, je pense que le triangle est isocéle car M et M' sont symetriques mais est ce une justification? Merci d'avance pour l'aide .
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar kojak » Jeudi 18 Octobre 2007, 08:05

Bonjour,
Pour la a), comment détermines tu l'aire d'un triangle ?
que vaut l'ordonnée de $M$ en fonction de son abscisse $x$ ?
Pour la c) c'est ça : comme $A$ est sur l'axe des abscisses, et que tu fais une symétrie par rapport à cet axe, le triangle est isocèle...

ensuite "optimisation" signifie ici l'énoncé de la question c : déterminer la valeur de $x$ ou $\alpha$ pour laquelle l'aire du triangle est maximale...

Pour faire une figure, tu peux la faire avec GeoGebra et comme ça tu pourras faire une conjecture..

PS : pourrais tu aussi mettre à jour ton profil, en particulier ton niveau d'étude
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 08:27

Merci d'avoir répondu. Pour déterminer l'aire d'un triangle c'est : $\dfrac{Base \times hauteur}{2}$ donc $\dfrac{MM' \times x}{2}$ ?
J'aimerais bien mettre à jour mon profil mais je ne sais pas où est qu'il faut faire ca :oops:
Merci encore.
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar kojak » Jeudi 18 Octobre 2007, 08:32

Liya a écrit: Pour déterminer l'aire d'un triangle c'est : $\dfrac{Base \times hauteur}{2}$ donc $\dfrac{MM' \times x}{2}$ ?
oui mais que vaut $MM'$ si tu appelles $y$ l'ordonnée de $M$.
Ensuite, il faut que tu exprimes $y$ en fonction de $x$ sachant que $M$ est sur le cercle trigo.
Liya a écrit:
J'aimerais bien mettre à jour mon profil mais je ne sais pas où est qu'il faut faire ca :oops:

sous le bandeau Mathematex, tu as index du forum et en dessous Panneau de l'utilisateur et là tu rentres dans ton Panneau
ensuite tu as Apercu -- Profil et là tu peux modifier ton profil :wink:
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 09:01

je suis vraiment désolée mais la je ne comprends plus ce que vous voulez dire. Il faut que j'exprime $y$ en fonction de $x$ donc $M(x,y)$ et $M'(x,y')$ donc je calcule le vecteur $MM'$ mais je trouve $0$ il doit avoir un probléme dans mon calcul :oops:
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar kojak » Jeudi 18 Octobre 2007, 10:07

Peux tu donner l'équation du cercle trigo :?:
PS : et ton profil :?:
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 10:37

Alors l'équation du cercle c'est : $cos^2x+sin^2x=1$
PS: j'ai envoyé le profil. Apparemment, ce n'était pas bon. Je comprends pas l'adresse web ? :oops:
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar kojak » Jeudi 18 Octobre 2007, 10:42

Liya a écrit:Alors l'équation du cercle c'est : $cos^2x+sin^2x=1$
non ceci est la relation caratéristique des $\cos$ et $\sin$.. et $x$ est l'abscisse du point $M$ ici....
Liya a écrit:PS: j'ai envoyé le profil. Apparemment, ce n'était pas bon. Je comprends pas l'adresse web ? :oops:

Faut pas l'envoyer... faut compléter ton profil dans panneau utilisateur tout simplement... qui se trouve, si tu réponds à un post, au dessus de ta réponse....
Sinon, t'es en quelle classe :?:
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 11:03

Bon je crois que j'ai un probléme de comprehension :oops: (je suis en terminale S ) $x=cos\alpha $ et $y=sin \alpha$ :oops:
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar kojak » Jeudi 18 Octobre 2007, 11:57

Liya a écrit: $x=cos\alpha $ et $y=sin \alpha$
Oui, mais ça c'est pour la question b...
L'équation d'un cercle de centre $A(a,b)$ de rayon $R$ est $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ : ça ne te rappelle rien : voir cours de Première S, avec ici, $a=b=0$ et $R=1$, donc ton cercle a pour équation....
ensuite comme $M$ a une ordonnée positive, tu pourras écrire $y=\ldots$ en fonction de $x$....
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 12:27

Si si je me rapelle mais je confonds cela avec ce que j'ai écrit tout à l'heure. Merci
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar Liya » Jeudi 18 Octobre 2007, 12:34

Le cercle aura pour équation $x^2-y^2+1$ ? Et donc $y^2=x^2+1==>y=\sqrt{x^2+1}?$ ET pour la question b) j'utilise le meme procédé que la a ? Merci
Liya
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Re: Un problème d'optimisation

Messagepar kojak » Jeudi 18 Octobre 2007, 12:40

Liya a écrit:Le cercle aura pour équation $x^2-y^2+1$ ?
il manque des parenthèses quelque part et un $0$, non.... donc à reprendre...

ensuite que vaut alors $MM'$ en fonction de $y$ :?: et donc tu auras l'aire de ton triangle en fonction de $x$.. Au passage ta hauteur mesure combien, en fonction de $x$.
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