Sujet de bac sur les suites et la convergence

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Sujet de bac sur les suites et la convergence

Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 13:32

Bonjour,

J ai un petit problème pour un exercice de Maths. Alors je bloque à partir de la question 1°) b). Je pense qu' il faut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ mais je ne voie pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie sur $\N$ par:

$u_0$=0 et $u_{n+1}$=$\sqrt{3u_n+4}$.

1°) a) Montrer que $(u_n)$ est majorée par 4.

b) Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.

c) En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

2°) a) Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a:

$$4-u_{n+1} \le \frac{1}{2} (4-u_n)$$



b) Retrouver le résultat du 1°) c.

c) Etudiez la convergence de la suite ($v_n$) définie sur $\N$ par:

$$v_n + n^2 (4- u_n)$$



[Edit: kilébo]Amélioration du code Latex
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Messagepar kilébo » Dimanche 19 Novembre 2006, 13:41

Que donne $u_{n+1} - u_n$ ? Penses à multiplier par l'expression conjuguée.
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 13:50

Alors c est ce que j ai fait
Mais je ne voie pas trop ou ca me mène
Ca me donne:

$$u_{n+1}-u_n = 3u_n -4 - u_n \sqrt{3u_n -4}/3u_n-4$$



[Edit: MB] LaTeX. Ne pas multiplier les dollars !! On travaille par formule !
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Messagepar kojak » Dimanche 19 Novembre 2006, 13:59

Il faut faire un raisonnement par récurence : verifier la propriété au rang 0. suppsoser la propriété vraie à un rang $n$ et montrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.
Hyp : $u_n$ majorée par 4 donc $u_n-4<0$.
Calculer $u_{n+1}-4$ à l'aide de l'expression conjuguée. Il apparait au numérateur $3(u_n-4)$ et donc .... à finir.
Idem pour la croissance de $_u_n$ : récurrence avec comme hypothèse $u_{n+1}-u_n>0$. Il ne faut pas oublier de verifier l'initialisation, c'est à dire que $u_1-u_0>0$.
Ensuite calculer $u_{n+2}-u_{n+1}$ (penser à l'expression conjuguée), etc...
Une suite croissante majorée est ...
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 14:03

kojak a écrit:Il faut faire un raisonnement par récurence : verifier la propriété au rang 0. suppsoser la propriété vraie à un rang $n$ et montrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.
Hyp : $u_n$ majorée par 4 donc $u_n-4<0$.

Ca sert pour la première question tout ca?
Mais le a) c' est bon j' ai déjà trouvé
Pour la question b) il faut aussi procéder par récurrence
Ne serait-ce pas plus simple d étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$?
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 14:52

Tisha a écrit:Alors c est ce que j ai fait
Mais je ne voie pas trop ou ca me mène
Ca me donne:

$$u_{n+1}-u_n = 3u_n -4 - u_n \sqrt{3u_n -4}/3u_n-4$$





J aimerai juste savoir si mon résultat est bon
Et s il me sert à quelque chose pour répondre à la question 1°)b
Merci d avance
Tisha
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Messagepar kilébo » Dimanche 19 Novembre 2006, 14:57

$u_{n+1} - u_n = \sqrt{3u_n+4} - u_n = \dfrac{-u_n^2+3u_n+4}{\sqrt{3u_n+4} + u_n} = \dfrac{(4-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{3u_n+4} + u_n} \geq 0$
Dernière édition par kilébo le Dimanche 19 Novembre 2006, 15:21, édité 1 fois.
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 15:20

Merci beaucoup
J ai enfin compris
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 15:57

Bon j ai réussi la suite
Sauf pour la question 2°) a ou je suis de nouveau bloqué
Si quelqu un pouvait me donner une piste...
Merci
Tisha
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Messagepar kilébo » Dimanche 19 Novembre 2006, 16:12

Il faut calculer $4 - u_{n+1}$, appliquer de nouveau l'expression conjuguée et minorer le dénominateur.
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 16:19

Je trouve:
4 - $\sqrt{3u_n+4}$ / 4+ $\sqrt{3u_n+4}$
A partir de la, comment peut on minoré le dénominateur?
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Messagepar kojak » Dimanche 19 Novembre 2006, 16:31

Le dernier résultat est faux...
On obtient $4-u_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}$ En multipliant par l'expression conjuguée et en utilisant $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, on a :
$4-u_{n+1}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}$.
Le dénominateur est supérieur à 6 (sous la racine, c'est plus grand que 4 ...) donc par l'inverse, l'expression précédente est inférieure à $\dfrac{3}{6}(4-u_n)$.
Et c'est fini pour cette question...
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Messagepar guiguiche » Dimanche 19 Novembre 2006, 16:35

@kojak : merci de ne pas fournir la réponse entière du premier coup. On laisse tranquillement les élèves méditer et s'approprier leur exercice : cela leur sera davantage profitable. sinon, c'est sympathique de vouloir aider :wink:
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar kojak » Dimanche 19 Novembre 2006, 16:42

@guiguiche..

Ok j'ai bien pris note...
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Messagepar Tisha » Dimanche 19 Novembre 2006, 19:06

En tout cas, je vous remercie de m' avoir aider
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