[TS] Suite définie par récurrence

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[TS] Suite définie par récurrence

Messagepar Seth » Samedi 23 Décembre 2006, 18:40

Bonsoir,

J'ai un petit problème avec les deux dernières questions de mon DM.
Voilà l'énnoncé :

Soit $f(x)=x-e^{2x-2}$

On a montré que $a$ est l'unique solution de $f(x)=0$ sur $[0 ; 0,5]$

Ensuite $g(x)=e^{2x-2}$
En résolvant $g(x) = x$ on trouve $g(a) = a$ et donc $a=e^{2a-2}  \approx 0.203$

On définit dans $\R$ la suite $(U_n)$ par : $\left\{ \begin{array}{l} U_0=0 \\ U_{n+1}=e^{2U_n-2} \end{array} \right.}$

On admet que $|U_{n+1}-a|\leqslant \frac{2}{e}|U_n - a|$

Ensuite (et là je bloque !), on doit démontrer par récurrence que $|U_n-a|\leqslant \left(\frac{2}{e}\right)^n$
La propriété est vérifiée pour le 1er terme mais ensuite je n'arrive pas à aboutir à $|U_{n+1}-a|\leqslant \left(\frac{2}{e}\right)^{n+1}$

Puis en déduire que la suite converge et donner sa limite.
Je pense que c'est par rapport à la formule "la suite converge vers $\ell$ si $(U_n - \ell)$ converge vers 0".
Dans ce cas $\ell$ est remplacée par $a$ et la suite converge vers $a$ mais la valeur absolue et le > me gène !

Merci de votre aide.
Seth
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Messagepar guiguiche » Samedi 23 Décembre 2006, 18:54

Avec la propriété que tu admets, la récurrence se fait toute seule normalement.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Seth » Samedi 23 Décembre 2006, 19:09

Effectivement !

J'avais essayé plein de méthodes mais je n'avais pas penser à réutiliser cette propriété !

Merci pour cette réponse ...

Il me reste la 2ème question ensuite ...
Seth
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Messagepar guiguiche » Samedi 23 Décembre 2006, 19:18

Rappelons la propriété :

$$\ds\lim_{n\to+\infty}{u_n}=\ell\;\Leftrightarrow\;\lim_{n\to+\infty}{|u_n-\ell|}=0$$


particulièrement essentielle ici.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Messagepar Seth » Samedi 23 Décembre 2006, 19:44

Comme ça :
$|U_n-a| \leqslant (\frac{2}{e})^n \Leftrightarrow U_n-a \leqslant (\frac{2}{e})^n$ Si $Un>a$
$\Leftrightarrow U_n-a \leqslant -(\frac{2}{e})^n$ Si $Un<a$

Donc Si $Un>a$
$lim_\infty U_n-a \leqslant lim_\infty (\frac{2}{e})^n =0 car |\frac{2}{e}|<1$

Et Si $Un<a$
$lim_\infty U_n-a \leqslant lim_\infty -(\frac{2}{e})^n =0 car |\frac{2}{e}|<1$

Par comparaison $lim_\infty U_n - a =0$
Et donc $lim_\infty U_n = a$
Seth
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Messagepar guiguiche » Samedi 23 Décembre 2006, 19:52

Peu importe de savoir si $u_n<a$ ou bien si $u_n\ge a$.
Comme, pour tout entier $n$, on a :

$$|u_n-a|\le\left(\dfrac{2}{e}\right)^n$$


et comme :

$$\ds\lim_{n\to+\infty}{\left(\dfrac{2}{e}\right)^n}=0$$


puisque $0<2<e$ alors :

$$\ds\lim_{n\to+\infty}{|u_n-a|}=0$$


Je te laisse conclure.
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Messagepar Seth » Samedi 23 Décembre 2006, 19:56

Je ne vois que moyennement ce que tu veux dire ... Si je met ce que j'ai écris sur ma copie suffit pour cette limite (le prof ne pourra pas dire que ça ne viens pas de moi !)

Merci pour ton aide.
Seth
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Messagepar guiguiche » Dimanche 24 Décembre 2006, 09:15

Seth a écrit:Je ne vois que moyennement ce que tu veux dire ... Si je met ce que j'ai écris sur ma copie suffit pour cette limite (le prof ne pourra pas dire que ça ne viens pas de moi !)

Ta phrase est obscure.
Mon post précédent et la conclusion avec le remarque de mon post de 19h18 doivent suffire comme rédaction (à moins que ma remarque ne figure pas dans ton cours).
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Messagepar DidgeriDude » Dimanche 24 Décembre 2006, 15:31

Si tu ne vois pas bien l'utilité de la valeur absolue, tu peux peut-être l'apréhender à partir de la propriété de la convergence par encadrement :

Si, pour tout entier $n>N$, $a_n\le u_n\le b_n$ et si les 2 suites $a_n$ et $b_n$ convergent vers la même limite $l$, alors la suite $u_n$ est convergente et admet également $l$ pour limite.

Or tu sais qu'une valeur absolue est toujours positive, donc tu as :

Pour tout entier $n$, $0\le |U_n-a|\le \left(\dfrac{2}{e}\right)^n$

De plus $\ds\lim_{x\to +\infty}{0}=\lim_{x\to +\infty}{\left(\dfrac{2}{e}\right)^n}=0$ car $\dfrac{2}{e}<1$

Donc tu conclus que $\ds\lim_{x\to +\infty}{|U_n-a|}=0$ ce qui est équivalent à $\ds\lim_{x\to +\infty}{U_n}=a$
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