Résolution d'une équation du troisième degré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Dimanche 18 Novembre 2007, 16:46

Bonjour !
Alors voilà j'ai un exercice a faire mais je ne comprend strictement rien ,pouvez-vous m'aider?


L'objectif de cet exercice est d'appliquer cette méthode à la résolution de l'équation:
(E): x^3+3x^2+15x-99=0
1.
On se ramène à la résolution d'une équation du type :
Xp3 + pX + q = 0

a. Déterminer trois réels a, p et q tels que pour tout x, x² + 3x² + 15 - 99 = (x + a)^3 + p(x+a) + q

b.En posant X=x+a, vérifier que:
X^3 + 12X - 112 = 0

2. On résout l'équation (E1): X^2+12X-112=0 pour cela, on pose X=u+v.

a) Vérifier que (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v).

b) En déduire que:
si X=u+v alors: X^3+12X-112=u^3+v^3+(3uv+12)(u+v)-112.
si u^3+v^3=112, alors u^3v^3=-64 équivaut à X=u+v est une solution de l'équation (E1).

c) Trouver deux nombres u et v tels que: u^3+v^3=112 et u^3v^3=-64.
[ on établira que 7+5racine carré de 2=(a+b racine carrée de 2)^3 et 7-5 racine carrée de 2= (a-b racine carée de 2)^3 ]

d) Résoudre alors l'équation (E1)

e) Résoudre alors l'équation (E).

Merci d'avance, et bon courage (dsl je ne connais pas très bien le mode latex...)
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Publicité

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Valvino » Dimanche 18 Novembre 2007, 16:49

Qu'as-tu fait?
Valvino
Giga-utilisateur
 
Messages: 922
Inscription: Mercredi 21 Mars 2007, 10:59
Statut actuel: Post-bac | Master

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Jean-charles » Dimanche 18 Novembre 2007, 16:50

Bonjour,
Tu développes $(x+a)^3$ et $p(x+a)$, tu réduis puis tu identifies pour retomber sur ton polynôme de départ...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
Modérateur
 
Messages: 2229
Inscription: Mercredi 24 Août 2005, 13:35
Localisation: Alpes-Maritimes
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar guiguiche » Dimanche 18 Novembre 2007, 17:37

Et comme tout le monde, Gatou07 va se mettre à $\LaTeX$ pour rédiger des questions sans aucune ambiguïté.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8062
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Jean-charles » Dimanche 18 Novembre 2007, 17:50

Tout ça pour arriver à prouver que 3 est la seule racine de $(E)$, ce n'est pas rigolo...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
Modérateur
 
Messages: 2229
Inscription: Mercredi 24 Août 2005, 13:35
Localisation: Alpes-Maritimes
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Lundi 19 Novembre 2007, 16:19

J'ai fait jusqu'au 2 a)
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Lundi 19 Novembre 2007, 16:33

L'objectif de cet exercice est d'appliquer cette méthode à la résolution de l'équation:
(E): x³+3x²+15x-99=0
1.
On se ramène à la résolution d'une équation du type :
Xp3 + pX + q = 0

a. Déterminer trois réels a, p et q tels que pour tout x, x² + 3x² + 15 - 99 = (x + a)³ + p(x+a) + q

b.En posant X=x+a, vérifier que:
X³ + 12X - 112 = 0

2. On résout l'équation (E1): X²+12X-112=0 pour cela, on pose X=u+v.

a) Vérifier que (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v).

b) En déduire que:
si X=u+v alors: X³+12X-112=u³+v³+(3uv+12)(u+v)-112.
si u³+v³=112, alors u³v³=-64 équivaut à X=u+v est une solution de l'équation (E1).

c) Trouver deux nombres u et v tels que: u³+v³=112 et u³v³=-64.
[ on établira que 7+5√2=(a+b√2)³ et 7-5 √2= (a-b√2)³]

d) Résoudre alors l'équation (E1)

e) Résoudre alors l'équation (E).

Guiguiche est content? ^^
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar leo892 » Lundi 19 Novembre 2007, 17:08

Sauf que c'est pas vraiment du $\LaTeX$ hihi :roll:
Va voir par ici : annonces/utilisation-latex-t4297.html
leo892
Kilo-utilisateur
 
Messages: 183
Inscription: Samedi 31 Mars 2007, 13:05
Localisation: Sydney
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar guiguiche » Lundi 19 Novembre 2007, 17:50

Pas du tout, pour écrire avec LaTeX :
Code: Tout sélectionner
$u^3+v^3=112$
donne $u^3+v^3=112$.

Et pour : 7+5√2=(a+b√2)³
Code: Tout sélectionner
$ 7 + 5\sqrt{2} = \left( a + b\sqrt{2} \right)^3 $
qui donne : $ 7 + 5\sqrt{2} = \left( a + b\sqrt{2} \right)^3 $
C'était tellement peu lisible que j'ai confondu la barre de division avec ton espèce de symbole de racine carrée.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8062
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Lundi 19 Novembre 2007, 21:01

lool désolée jpensais avoir bien fait...xD mais faut arreter de chipoter aussi ^^ on voit bien que c'est une racine carrée ... mais tu peux pas m'aider à resoudre mon exercice stp =)
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Jean-charles » Lundi 19 Novembre 2007, 21:32

Bon tu en est à la 2)b)
On pose $X=u+v$ , il faut calculer $ X^3+12X-112=(u+v)^3+12(u+v)-112 $
Et pense à utiliser la question précédente...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
Modérateur
 
Messages: 2229
Inscription: Mercredi 24 Août 2005, 13:35
Localisation: Alpes-Maritimes
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Dimanche 25 Novembre 2007, 11:05

merci !! mais maintenant j'ai un problème pour le c) pouvez-vous m'expliquer?
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Jean-charles » Dimanche 25 Novembre 2007, 11:31

Pour le c):
Tu peux poser $X=u^3$ et $Y=v^3$
Tu as donc à résoudre pour commencer $X+Y=112$ et $XY=-64$, c'est un système qui se ramène à une équation du second degré, tu as dû voir ça en cours.
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
Modérateur
 
Messages: 2229
Inscription: Mercredi 24 Août 2005, 13:35
Localisation: Alpes-Maritimes
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Dimanche 25 Novembre 2007, 17:53

$u^3+v^3=112$
$u^3v^3=-64$

$u^3+v^3=112$
$uv=-4$

$u^3+v^3=112$
$u=-4/v$

et la je suis bloquée...
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Jean-charles » Dimanche 25 Novembre 2007, 18:46

As-tu lu ce que j'ai écris ?
Tu poses $X+Y=112$ donc $X=...$
Puis tu remplaces $X$ par ce que tu as trouvé dans $XY=-64$, ainsi tu vas obtenir une équation du second degré en $Y$ que tu sais résoudre.
Ensuite tu calcules $X$.
Et enfin sachant que $u^3=X$ et $v^3=Y$, tu calcules $u$ et $v$...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
Modérateur
 
Messages: 2229
Inscription: Mercredi 24 Août 2005, 13:35
Localisation: Alpes-Maritimes
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Lundi 26 Novembre 2007, 17:59

Bonsoir,

Un ami dans ma classe à juste calculer le discrimiant de $x^2-112x-64=0$ puis comme le discriminant est supérieur à 0 il a calculé les 2 solutions et en à déduit que c'était u et v.
Mais un autre ami à fait un système (comme vous m'avez dit) mais après il a calculé a et b, son calcul fait au moins 1 copie double... est-ce necessaire de faire tous ça?
Pour les questions d) et e) ils n'ont pas fait pareil non plus... :(
Merci pour tout.
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar kojak » Lundi 26 Novembre 2007, 18:21

OK, mais toi tu n'as toujours pas d'équation du second degré alors je ne vois pas comment tu vas calculer un discriminant :roll:

De là, à remplir 15 copies doubles pour un malheureux petit système, faudrait peut être être plus concis dans ces calculs :wink:
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10386
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Lundi 26 Novembre 2007, 18:30

Pour la c) je commence par : si $u^3+v^3=112$ et $u^3v^3=-64$ alors $u^3$ $v^3$ sont solutions de l'équation $x^2-Sx+P=0$ donc $x^2-112x-64=0$ donc j'ai une équation du second degré
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Jean-charles » Lundi 26 Novembre 2007, 19:00

Oui il ne rest plus qu'à la résoudre...
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
Modérateur
 
Messages: 2229
Inscription: Mercredi 24 Août 2005, 13:35
Localisation: Alpes-Maritimes
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

Messagepar Gatou07 » Lundi 26 Novembre 2007, 20:29

ok donc c'est je trouve u et v mais est-ce que je dois faire qqch pr trouver a et b ?
Gatou07
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:43
Statut actuel: Lycée | 1ère S

Suivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 4 invités