[TS] Récurrence ?

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[TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 10:32

Bonjour c'est mon premier message et la premiere fois que j'utilise le logiciel Latex je vais essayer de ne pas faire d'erreur lors de son utilisation mais je ne promet rien alors voici mon probleme :
Montrer que pour tout $n \in \N$ :


$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $


J'ai tout d'abord pensé a proceder par récurrence mais je n'arrive a le demontrer ainsi .

Je vous remercie d'avance de votre aide
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Messagepar François D. » Dimanche 02 Septembre 2007, 10:47

Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.

Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer :wink: !
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Messagepar Nipin » Dimanche 02 Septembre 2007, 11:24

Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :

$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 17:22

François D. a écrit:Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.

Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer :wink: !


Justement c'est là que je coince .Je ne troue pas ce satané denominateur commun
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 19:37

Pin a écrit:Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :

$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$



Je ne vois pas comment faire en utilisant ta méthode ?
Pourrais-tu développer un peu plus ?
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar lafayette » Dimanche 02 Septembre 2007, 19:40

Combien y-a-t-il de termes dans ta somme de départ ?
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 19:47

De quel somme de départ parles-tu
je ne comprend pas
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar Nipin » Dimanche 02 Septembre 2007, 19:57

Ecris l'inégalité que je t'ai donnée pour les différentes valeurs $k$ et essaie de les sommer.
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar guiguiche » Dimanche 02 Septembre 2007, 19:57

TakTak a écrit:$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $

Il y a bien une somme, non ?
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar lafayette » Dimanche 02 Septembre 2007, 20:01

Avec l'indication de Pin te permettant de minorer chaque terme, si tu sais compter le nombre de termes de ta somme de départ (tu dois montrer, je te rappelle : $\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $), tu devrais pouvoir montrer l'inégalité souhaitée
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 20:19

Okkkkkkk

il y a donc $2^n$ termes
Dernière édition par TakTak le Dimanche 02 Septembre 2007, 20:33, édité 2 fois.
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar Nipin » Dimanche 02 Septembre 2007, 20:25

tout à fait !
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 20:37

et ensuite on trouve :

$$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \left(\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)^{2n}$$



et comment prouver que
$(\dfrac{1}{2^{n+1}})^{2n}\ge 1\2$
Dernière édition par TakTak le Dimanche 02 Septembre 2007, 20:47, édité 2 fois.
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar guiguiche » Dimanche 02 Septembre 2007, 20:46

Hem, hem : la somme se transforme donc en un exposant :shock:
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 20:48

oh le boulet
quel erreur
merci
exo résolu
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 22:06

arf j'avais pas vu le dos de la feuille

et la je bloque totale

On définit $S=\ds\sum_{k=1}^\infty(\dfrac{1}{k})$

En décomposant habilement S, en déduire que $S = +\infty$

Je précise qu'il faut utiliser la relation étalie précedement a savoir :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Dimanche 02 Septembre 2007, 23:41

hum je pense avoir trouvé commment décomposer S :

$S_n=1+ 1/2+\ds\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k}}$
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar MB » Dimanche 02 Septembre 2007, 23:58

Je pense que ta décomposition n'est pas correcte de plus je ne vois pas comment elle te permettrait de conclure.
Mais l'idée d'utiliser l'égalité que tu as indiqué est bonne je pense.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Lundi 03 Septembre 2007, 00:01

En effet elle est fausse.
D'ailleurs l'ayant remarqué je voulais supprimer le message et je penser l'avoir fait mais bizarrement il est toujours la.
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Re: [TS] Récurrence ?

Messagepar TakTak » Lundi 03 Septembre 2007, 00:08

$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}}$
comment est-ce que je pourrais simplifier par simplifier je veux dire le mettre sous forme de somme ou autre
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