[TS] Raisonnement par récurrence ...

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[TS] Raisonnement par récurrence ...

Messagepar Exdanrale » Dimanche 10 Septembre 2006, 13:33

Le but de l'exercice est de montrer par récurrence que :

$\ds\sum_{k=1}^{n} \ {k}^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6$

est vrai pour tout $n \ge 1$

Dans l'initialisation, j'arrive à montrer que Pn est vraie au rang n=1 mais après je bloque ... Je sais (enfin je crois !) que je dois arriver à montrer que :

$\ds\sum_{k=1}^{n+1} \ {k}^2 = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6$ (j'ai obtenu ca en calculant la formule du début mais avec n+1)

Et j'en suis arrivé à :

$\ds\sum_{k=1}^{n+1} \ {k}^2 = 1^2+2^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 =  \ds\sum_{k=1}^{n} \ {k}^2 + (n+1)^2$

Mais de là je n'arrive pas à retomber sur ce que j'espère ... Ai-je commis une erreur ?
Merci d'avance de votre aide :)
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Messagepar amalfi » Dimanche 10 Septembre 2006, 13:41

Tu es sur le bon chemin: remplace la somme (celle jusqu'à n) par ce que tu sais (ton hypothèse de récurrence), mets au même dénominateur et factorise. Tu tomberas sur ce que tu voulais.
amalfi
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Messagepar Exdanrale » Dimanche 10 Septembre 2006, 14:21

amalfi a écrit:Tu es sur le bon chemin: remplace la somme (celle jusqu'à n) par ce que tu sais (ton hypothèse de récurrence), mets au même dénominateur et factorise. Tu tomberas sur ce que tu voulais.


Merci en fait c'était tout bête :? Simplement je n'avais pas remarqué que 2n² + 7n + 6 était également à la multiplication des deux termes qui me manquaient ...
Encore merci et bonne aprem' :p !
Exdanrale
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