[1ère] Pourcentage moyen annuel

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[1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 12:30

Bonjour, je bloque sur un exercice sur le pourcentage moyen annuel, de 1ère.

Voici l'énoncé:

"Le nombre de personnes bénéficiant en France du RIM est passé de 1 017 800 en 1999 à 938 459 en 2001.
1. Calculer le pourcentage de diminution du nombre de personnes bénéficiant du RIM de 1999 à 2001.
2. Soit t le pourcentage annuel de diminution qui donnerait le même résultat au bout de deux ans. Ce pourcentage est appelé pourcentage moyen annuel de diminution.
Montrer que (1+t)² est environ égal à 0,9220, puis en déduire t à l'unité près."

Je pense avoir réussi le 1) mais je n'arrive pas à trouver le bon résultat au 2).

1. Baisse en % : 938459-1017800/1017800 = -79341/1017800 soit environ -0.078. Puisque -0.078 = -7.8/100 : baisse de 7.8 %.

Merci d'avance pour votre aide.

Yoshi :)
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 13:41

La 1ère me semble correcte (j'ai pas vérifié les nombres mais le raisonnement est correct).
La 2ème, il faut que tu te rappelle comment on calcule $V_{n+2}$ quand tu connais $V_n$ et $t$ ;)
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 13:43

Je ne comprends pas le calcul qu'il faut faire.
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar jcs » Samedi 02 Octobre 2010, 13:51

Bonjour
pour la première question pas de problème c'est exact.

Soit t le pourcentage annuel de diminution qui donnerait le même résultat au bout de deux ans. Ce pourcentage est appelé pourcentage moyen annuel de diminution.
Montrer que (1+t)² est environ égal à 0,9220, puis en déduire t à l'unité près.

Si le résultat est le même au bout de deux ans c'est que le taux d'évolution durant ces deux années a baissé de 7,8 % donc le coefficient multiplicateur est $1-\frac{7.8}{100}$
or il a subi deux diminutions successives au taux $t$ le coefficient multiplicateur global est alors $\cdots$
On en déduit le coefficient multiplicateur moyen $1+t$ et ensuite $ t$
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 14:03

Yoshi a écrit:Je ne comprends pas le calcul qu'il faut faire.

et bien, normalement tu as du voir une formule ressemblant à ceci :
$V_n = V_0 \times (1 + t)^n$
dans ton problème :
$n = 2$
$V_2 = 938 459$
$V_0 = 1 017 800$
Pour calculer t, il suffit de résoudre l'équation que cela te donne.
En général on arrive alors avec une formule ressemblant à ceci : $t = n \sqrt {....}$
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 14:10

Mikelenain a écrit:
Yoshi a écrit:Je ne comprends pas le calcul qu'il faut faire.

et bien, normalement tu as du voir une formule ressemblant à ceci :
$V_n = V_0 \times (1 + t)^n$
dans ton problème :
$n = 2$
$V_2 = 938 459$
$V_0 = 1 017 800$
Pour calculer t, il suffit de résoudre l'équation que cela te donne.
En général on arrive alors avec une formule ressemblant à ceci : $t = n \sqrt {....}$


Je n'ai pas eu cette formule... J'ai vraiment du mal là.
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 14:12

jcs a écrit:Bonjour
pour la première question pas de problème c'est exact.

Soit t le pourcentage annuel de diminution qui donnerait le même résultat au bout de deux ans. Ce pourcentage est appelé pourcentage moyen annuel de diminution.
Montrer que (1+t)² est environ égal à 0,9220, puis en déduire t à l'unité près.

Si le résultat est le même au bout de deux ans c'est que le taux d'évolution durant ces deux années a baissé de 7,8 % donc le coefficient multiplicateur est $1-\frac{7.8}{100}$
or il a subi deux diminutions successives au taux $t$ le coefficient multiplicateur global est alors $\cdots$
On en déduit le coefficient multiplicateur moyen $1+t$ et ensuite $ t$


J'ai essayé une formule trouvée sur un autre forum avec CM = 0.922 mais je n'ai pas retrouvé le bon résultat à la fin.
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar jcs » Samedi 02 Octobre 2010, 14:27

je ne pense pas qu'au début de la classe de première L on commence par les suites géométriques même si par la suite on y arrive.
Ce qui est fait est plutôt définition d'un taux d'évolution et coefficient multiplicateur que l'on applique dans tous les sens
On a au départ la population touchant le rmi en 1999 $y_0$ par exemple il subit une évolution au taux $t$ par conséquent ce nombre est multiplié par $1+t$
il devient $y_1$ maintenant ce nouvel effectif subit lui aussi la même évolution donc ce nombre a aussi été multiplié par $1+t$ donc en définitive $y_0$ a été multiplié par (réponse facile à trouver)
le coefficient multiplicateur est celui qui vous a permis de trouver le taux global
On peut aussi dire que pour passer de $a$ à $b$ il suffit de multiplier $a$ par $\frac{b}{a}$ ce nombre est bien un coefficient multiplicateur.
que vaut $\frac{\text{valeur 2001}}{\text{valeur 1999}}$
Écrivez l'égalité des coefficients multiplicateurs
jcs
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar kojak » Samedi 02 Octobre 2010, 14:31

bonjour,

Mikelenain a écrit:En général on arrive alors avec une formule ressemblant à ceci : $t = n \sqrt {....}$


En première L, j'ai de gros doutes, quand tu sais à quel moment elle est faite en S, et peut être en ES, mais là je ne m'en souviens plus..

Et la notation est plutôt $\sqrt[n]{\ldots}$
Code: Tout sélectionner
$\sqrt[n]{\ldots}$
pas d'aide par MP
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 14:44

kojak a écrit:bonjour,

Mikelenain a écrit:En général on arrive alors avec une formule ressemblant à ceci : $t = n \sqrt {....}$


En première L, j'ai de gros doutes, quand tu sais à quel moment elle est faite en S, et peut être en ES, mais là je ne m'en souviens plus..

Il me semble l'avoir vu dans des bouquins de 1L.
En tous les cas, je sais que ça se fait en 1STG.

kojak a écrit:Et la notation est plutôt $\sqrt[n]{\ldots}$
Code: Tout sélectionner
$\sqrt[n]{\ldots}$

Merci bien. J'ai passé une dizaine de minutes à chercher sans succès :s
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 15:20

Merci de votre aide.

jcs a écrit:je ne pense pas qu'au début de la classe de première L on commence par les suites géométriques même si par la suite on y arrive.
Ce qui est fait est plutôt définition d'un taux d'évolution et coefficient multiplicateur que l'on applique dans tous les sens
On a au départ la population touchant le rmi en 1999 $y_0$ par exemple il subit une évolution au taux $t$ par conséquent ce nombre est multiplié par $1+t$
il devient $y_1$ maintenant ce nouvel effectif subit lui aussi la même évolution donc ce nombre a aussi été multiplié par $1+t$ donc en définitive $y_0$ a été multiplié par (réponse facile à trouver)
le coefficient multiplicateur est celui qui vous a permis de trouver le taux global
On peut aussi dire que pour passer de $a$ à $b$ il suffit de multiplier $a$ par $\frac{b}{a}$ ce nombre est bien un coefficient multiplicateur.
que vaut $\frac{\text{valeur 2001}}{\text{valeur 1999}}$
Écrivez l'égalité des coefficients multiplicateurs


$y_0$ a été multiplié par ($1+t$
CM = 0.922

Est-ce que c'est ça pour commencer?
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 15:22

exact
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 15:31

Et ensuite, comment égaliser les CM?
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 15:38

ben, CM = (1 + t)²
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 16:27

Ah mais oui... je rêve complètement là. Pffff.
Et pour trouver t à l'unité près de divise 0.922 par quoi exactement?
Yoshi
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 17:15

je te rappelle comment on résoud les équations ?
$x^2 = a$
$x = \sqrt a$ si a > 0

A toi de faire le reste ;)
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 17:31

CM = (1+t)² = 0.922

(1+t)² = 0.922

-> (1+t)² - 0.922 = 0

(1+t)² = 1+2t+t²

donc 1+2t+t² - 0.922 = 0

Je pense que c'est totalement faux!
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 17:49

c'est pas faux, c'est juste pas le bon chemin ;)
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Yoshi » Samedi 02 Octobre 2010, 17:56

Je ne sais pas le faire alors.
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Re: [1ère] Pourcentage moyen annuel

Messagepar Mikelenain » Samedi 02 Octobre 2010, 18:17

Yoshi a écrit:Je ne sais pas le faire alors.

$(1+t)^2 = 0,922$
$1+t = \sqrt {0,922}$
A toi de finir
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