Point d'inflexion

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Jeudi 29 Mars 2018, 19:07

Bonsoir
j'ai trouvé la définition suivante:
un point est un point d'inflexion si c'est un point régulier et si la multiplicité d'intersection avec sa tangente au point donné est au moins égale à 3.
quel est le rapport de cette définition avec la définitions suivante:
la courbe de f admet un point d'inflexion en $a$ si sa courbe traverse sa tangente en $a$.
est ce que la courbe d'équation $y=x^4$ admet l'origine du repère comme point d'inflexion?
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Re: Point d'inflexion

Messagepar evariste_G » Vendredi 30 Mars 2018, 17:48

Bonjour.

Quelle définition barbare... Introduire la multiplicité d'intersection est carrément le summum de la complexité de définition concernant le point d'inflexion...

Une courbe admet un point d'inflexion en $a$ si $f''(a)=0$ et $f''(x)$ change de signe en $a$ (en d'autres termes, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $a$).

Donc pour $f(x)=x^4$, comme $f'(x)=4x^3$ et $f''(x)=12x^2$, on a bien $f''(0)=0$ mais $f''(x)\geq0$ pour tout $x$ donc la dérivée seconde ne change pas de signe en 0.

Graphiquement, il y a inflexion lorsque la tangente en $x=a$ à la courbe traverse cette dernière (il y a un changement de concavité). Pour faire le lien avec la multiplicité d'intersection, c'est pas simple car cela implique de parler d'anneau local des fractions rationnelles définies au point d'abscisse $a$. Rien que ça, ça me refroidit légèrement...
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Samedi 31 Mars 2018, 06:28

Dans le cas où la courbe traverse sa tangente d'équation $x=a$ , ce point est il un point d'inflexion ou un point de rebroussement?
en générale pour avoir un point d'inflexion,il faut que la fonction $f'$ doit être dérivable en $a$?
si $f''(a)$ n'existe pas alors il n'y a pas de point d'inflexion en $a$?
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Re: Point d'inflexion

Messagepar evariste_G » Samedi 31 Mars 2018, 16:27

adem19s a écrit:Dans le cas où la courbe traverse sa tangente d'équation $x=a$ , ce point est il un point d'inflexion ou un point de rebroussement?
en générale pour avoir un point d'inflexion,il faut que la fonction $f'$ doit être dérivable en $a$?
si $f''(a)$ n'existe pas alors il n'y a pas de point d'inflexion en $a$?


Premier point : quand il y a point de rebroussement, la dérivée à droite et à gauche n'est pas la même, donc il ne peut pas y avoir de point d'inflexion car la tangente ne traverse pas la courbe. Quand il y a inflexion, je le répète, la tangente traverse la courbe en la frôlant (si on peut parler ainsi).

Deuxième point : pour avoir les conditions d'une inflexion ($f''(x)$ change de signe en s'annulant en $a$), il est nécessaire que $f'(x)$ soit dérivable en $a$ car on doit avoir $f''(a)=0$ (à droite et à gauche de $a$).

Troisième point : si $f''(a)$ n'existe pas, en effet, il n'y a pas de point d'inflexion puisque, par définition, il faut que $f''(a)=0$.

J'espère ne pas m'être embrouillé car ces questions sont plutôt surprenantes.

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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Samedi 31 Mars 2018, 21:36

evariste_G a écrit:
adem19s a écrit:Dans le cas où la courbe traverse sa tangente d'équation $x=a$ , ce point est il un point d'inflexion ou un point de rebroussement?
en générale pour avoir un point d'inflexion,il faut que la fonction $f'$ doit être dérivable en $a$?
si $f''(a)$ n'existe pas alors il n'y a pas de point d'inflexion en $a$?


Premier point : quand il y a point de rebroussement, la dérivée à droite et à gauche n'est pas la même, donc il ne peut pas y avoir de point d'inflexion car la tangente ne traverse pas la courbe. Quand il y a inflexion, je le répète, la tangente traverse la courbe en la frôlant (si on peut parler ainsi).

Deuxième point : pour avoir les conditions d'une inflexion ($f''(x)$ change de signe en s'annulant en $a$), il est nécessaire que $f'(x)$ soit dérivable en $a$ car on doit avoir $f''(a)=0$ (à droite et à gauche de $a$).

Troisième point : si $f''(a)$ n'existe pas, en effet, il n'y a pas de point d'inflexion puisque, par définition, il faut que $f''(a)=0$.

J'espère ne pas m'être embrouillé car ces questions sont plutôt surprenantes.

Le fichier joint Capture du 2018-03-31 17-25-33.png n’est plus disponible.

dans cet exemple la fonction f n'est pas dérivable en x=0 ,$C_f$ admet une tangente d'équation $x=0$.
la question: est ce que le point $O$ est un point d'inflexion?
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Re: Point d'inflexion

Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Avril 2018, 09:26

La fonction est de classe $C^2$ sur $\R_-^*$ et sur $\R_+^*$; elle est concave sur ce premier intervalle et convexe sur le second. La fonction est continue sur $\R$ donc elle est concave sur $\R_-$ et convexe sur $\R_+$ (en revenant à la définition de la convexité par les inégalités courbe/corde, passage à la limite). La courbe admet donc un point d'inflexion en $O$. Le problème de non dérivabilité en 0 oblige à revenir à la définition initiale sans hypothèse de continuité ni dérivabilité. Après, si la définition "officielle" au lycée est en lien avec la dérivabilité (je ne connais pas le programme), cet exercice n'a pas lieu d'être donné à ce niveau, bien que très intéressant. Par curiosité, quelle est la définition de ta fonction ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Dimanche 01 Avril 2018, 10:22

guiguiche a écrit:La fonction est de classe $C^2$ sur $\R_-^*$ et sur $\R_+^*$; elle est concave sur ce premier intervalle et convexe sur le second. La fonction est continue sur $\R$ donc elle est concave sur $\R_-$ et convexe sur $\R_+$ (en revenant à la définition de la convexité par les inégalités courbe/corde, passage à la limite). La courbe admet donc un point d'inflexion en $O$. Le problème de non dérivabilité en 0 oblige à revenir à la définition initiale sans hypothèse de continuité ni dérivabilité. Après, si la définition "officielle" au lycée est en lien avec la dérivabilité (je ne connais pas le programme), cet exercice n'a pas lieu d'être donné à ce niveau, bien que très intéressant. Par curiosité, quelle est la définition de ta fonction ?

cette fonction est définie sur $\R$par son graphe $C_f$
$C_f$ admet deux demi tangentes opposées en $0$.
est ce qu'on peut dire que c'est un point de rebroussement? car j'ai trouvé la définition suivante:
Un point du graphe d'une fonction est un point de rebroussement si et seulement si la dérivée à gauche de ce point n'est pas égale à la dérivée à droite et que ces deux dérivées sont infinies.
exemple: le fonction définie sur $\R$ par:
$f(x)$=$\sqrt{x}$ ;si $x \ge 0$ et $f(x)$=$-\sqrt{-x}$ ; si $ x\le 0$
la fonction n'est pas dérivable au point $x=0$.
le point $O(0;0)$ est un point d'inflexion ou bien un point de rebroussement?
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Re: Point d'inflexion

Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Avril 2018, 10:58

Les deux demi-tangentes forment une tangente donc il n'y a pas de point de rebroussement de mon point de vue (on poursuit sa trajectoire dans changer brutalement de direction lorsqu'on suit la courbe).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar kojak » Dimanche 01 Avril 2018, 11:11

Bonjour,

evariste_G a écrit:quand il y a point de rebroussement, la dérivée à droite et à gauche n'est pas la même


Pour moi, ceci ne donne pas un point de rebroussement, mais un point anguleux, ce qui correspond à ta seconde image.

Sinon, je suis de l'avis de guiguiche pour cette réponse : c'est bien un point d'inflexion et non rebroussement.
guiguiche a écrit:Les deux demi-tangentes forment une tangente donc il n'y a pas de point de rebroussement de mon point de vue (on poursuit sa trajectoire dans changer brutalement de direction lorsqu'on suit la courbe).


Voir page 7 pour les 4 types de points singuliers sur une courbe (paramétrée)
pas d'aide par MP
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Dimanche 01 Avril 2018, 11:28

adem19s a écrit:
evariste_G a écrit:
adem19s a écrit:Dans le cas où la courbe traverse sa tangente d'équation $x=a$ , ce point est il un point d'inflexion ou un point de rebroussement?
en générale pour avoir un point d'inflexion,il faut que la fonction $f'$ doit être dérivable en $a$?
si $f''(a)$ n'existe pas alors il n'y a pas de point d'inflexion en $a$?


Premier point : quand il y a point de rebroussement, la dérivée à droite et à gauche n'est pas la même, donc il ne peut pas y avoir de point d'inflexion car la tangente ne traverse pas la courbe. Quand il y a inflexion, je le répète, la tangente traverse la courbe en la frôlant (si on peut parler ainsi).

Deuxième point : pour avoir les conditions d'une inflexion ($f''(x)$ change de signe en s'annulant en $a$), il est nécessaire que $f'(x)$ soit dérivable en $a$ car on doit avoir $f''(a)=0$ (à droite et à gauche de $a$).

Troisième point : si $f''(a)$ n'existe pas, en effet, il n'y a pas de point d'inflexion puisque, par définition, il faut que $f''(a)=0$.

J'espère ne pas m'être embrouillé car ces questions sont plutôt surprenantes.

Le fichier joint Capture du 2018-03-31 17-25-33.png n’est plus disponible.

dans cet exemple la fonction f n'est pas dérivable en x=0 ,$C_f$ admet une tangente d'équation $x=0$.
la question: est ce que le point $O$ est un point d'inflexion?

La condition $f''(a)=0$ n'est pas nécessaire pour avoir un point d'inflexion.
Voilà un contre exemple où $f''(a)$ n'existe pas;mais il y a un point d'inflexion et la tangent n'est pas verticale au point $x=0$
$f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(x$)=$x^{\frac{9}{5}}-x$
cette fonction n'est pas dérivable au point $x=0$
$f''(x)$=$\dfrac{36}{25x^{\frac{1}{5}}}$.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar balf » Dimanche 01 Avril 2018, 20:48

Il me semble bien que la condition serait en fait que $f'(x)$ ait un extremum au point considéré.
En pratique, cela se voit le plus souvent du fait que $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, mais pas nécessairement.

B. A.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Dimanche 01 Avril 2018, 22:18

guiguiche a écrit:La fonction est de classe $C^2$ sur $\R_-^*$ et sur $\R_+^*$; elle est concave sur ce premier intervalle et convexe sur le second. La fonction est continue sur $\R$ donc elle est concave sur $\R_-$ et convexe sur $\R_+$ (en revenant à la définition de la convexité par les inégalités courbe/corde, passage à la limite). La courbe admet donc un point d'inflexion en $O$. Le problème de non dérivabilité en 0 oblige à revenir à la définition initiale sans hypothèse de continuité ni dérivabilité. Après, si la définition "officielle" au lycée est en lien avec la dérivabilité (je ne connais pas le programme), cet exercice n'a pas lieu d'être donné à ce niveau, bien que très intéressant. Par curiosité, quelle est la définition de ta fonction ?

La fonction définie sur $\R$ par:
$f(x)$=$x^2$ si $x\le 0$
$f(x)$=$\sqrt{x}$ si $x\ge 0$
cette fonction est continue sur $\R$..
elle est convexe sur $\R^-$ et concave sur $\R^+$
donc selon la définition que vous avez donné, le point $O$ est un point d'inflexion..
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Re: Point d'inflexion

Messagepar guiguiche » Lundi 02 Avril 2018, 10:45

Il y a en effet un changement de convexité à l'origine donc un point d'inflexion. Après, on pourrait convenir qu'on ne parle de point d'inflexion que si la fonction est dérivable en ce point, tout est question de définition : l'image que l'on a du point d'inflexion est que la courbe traverse sa tangente en ce point mais il faut que la tangente existe ...
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Lundi 02 Avril 2018, 12:31

guiguiche a écrit:Il y a en effet un changement de convexité à l'origine donc un point d'inflexion. Après, on pourrait convenir qu'on ne parle de point d'inflexion que si la fonction est dérivable en ce point, tout est question de définition : l'image que l'on a du point d'inflexion est que la courbe traverse sa tangente en ce point mais il faut que la tangente existe ...

bonjour
Quelle est la définition officielle du point d'inflexion?
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Re: Point d'inflexion

Messagepar guiguiche » Lundi 02 Avril 2018, 13:19

Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Lundi 02 Avril 2018, 20:17


j'ai trouvé cette définition:
un point est un point d'inflexion si c'est un point régulier et si la multiplicité d'intersection avec sa tangente au point donné est au moins égale à 3.
franchement je n'ai rien compris.
adem19s
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Re: Point d'inflexion

Messagepar guiguiche » Lundi 02 Avril 2018, 21:10

La définition que j'utilise avec mes étudiants est celle avec le changement de convexité (pas d'hypothèse de continuité et encore moins de dérivabilité). Ensuite, je caractérise le point d'inflexion dans le cas d'une fonction de classe C^1 (la dérivée change de sens de variation) puis dans le cas d'une fonction de classe C^2 (la dérivée seconde s'annule et change de signe).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Lundi 02 Avril 2018, 21:35

guiguiche a écrit:La définition que j'utilise avec mes étudiants est celle avec le changement de convexité (pas d'hypothèse de continuité et encore moins de dérivabilité). Ensuite, je caractérise le point d'inflexion dans le cas d'une fonction de classe C^1 (la dérivée change de sens de variation) puis dans le cas d'une fonction de classe C^2 (la dérivée seconde s'annule et change de signe).

vous pouvez me la donner d'une façon explicite si possible.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar guiguiche » Lundi 02 Avril 2018, 22:25

Ce que je donne.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Point d'inflexion

Messagepar adem19s » Mardi 03 Avril 2018, 06:52

guiguiche a écrit:Ce que je donne.

est ce que la continuité de la fonction $f$ est nécessaire au point $c$? c'est à dire le point où on a un changement de convexité.
comme l'exemple qui suit:
$f(x$)=$\dfrac{1}{x}$ $\text{si}$ ;$x<0$
$f(x)$=$\dfrac{1}{x}$ $\text{si}$ ;$x>0$.
$f(0)$=$0$
est ce que c'est un point d'inflexion?
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