[TS Spé] Nombres premiers

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[TS Spé] Nombres premiers

Messagepar Jal » Mardi 27 Novembre 2007, 18:43

Bonjour,

J'ai en exercice en TS Spécialité sur les nombres de Fermat, mais je bloque un peu.
Nombres de Fermat : $F_n = 2^{2^n} + 1$, n étant un entier naturel.
On admet que si $p$ premier divise $F_n$ alors il existe un entier naturel $k$, non nul, tel que $p = k\times2^{n+1}+1$.
Montrer que $F_4$ est premier.

Pour information, avant j'ai dû montrer que $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$ sont premiers et que $F_5$ ne l'est pas. Je suppose que pour $F_4$, je dois utiliser la congruence comme c'était le cas pour $F_5$. Il me suffirait de prouver que $F_4$ n'est pas congru à 0 modulo $p$, mais c'est plus facile à dire qu'à faire car là, $p$ varie en fonction de $k$.
Donc suis-je sur la bonne direction? Auriez-vous un indice?

Merci.
Jal
Hecto-utilisateur
 
Messages: 63
Inscription: Vendredi 05 Janvier 2007, 14:58
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Publicité

Re: [TS Spé] Nombres premiers

Messagepar dark_forest » Mardi 27 Novembre 2007, 21:42

Bonsoir,

J'ai une solution mais elle est moche : on se souvient que $F_4$ est premier si et seulement si il n'admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{F_4}=256.02$. Or si un entier premier divise $F_4$, alors il est de la forme $32k+1$. Vu qu'on les recherche inférieurs ou égaux à 256, on a juste besoin de tester les nombres premiers de la forme $32k+1$ avec $k \leq 7$, ce qui limite fortement la recherche.
dark_forest
Méga-utilisateur
 
Messages: 439
Inscription: Mardi 23 Octobre 2007, 22:02
Statut actuel: Post-bac | Préparation Agrégation

Re: [TS Spé] Nombres premiers

Messagepar Jal » Mardi 27 Novembre 2007, 21:50

dark_forest a écrit:Bonsoir,

J'ai une solution mais elle est moche : on se souvient que $F_4$ est premier si et seulement si il n'admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{F_4}=256.02$. Or si un entier premier divise $F_4$, alors il est de la forme $32k+1$. Vu qu'on les recherche inférieurs ou égaux à 256, on a juste besoin de tester les nombres premiers de la forme $32k+1$ avec $k \leq 7$, ce qui limite fortement la recherche.

Ah, oui effectivement.
Donc il suffirait de vérifier que $32k+1$ avec $k \leq 7$ ne divise pas $F_4$, pour les sept possibilités?
Quelqu'un pourrait-il me confirmer?
Merci.
Jal
Hecto-utilisateur
 
Messages: 63
Inscription: Vendredi 05 Janvier 2007, 14:58
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur


Retourner vers Exercices et problèmes : Lycée

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 1 invité