[Terms S] Nombres premiers

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[Terms S] Nombres premiers

Messagepar Kazik » Dimanche 09 Octobre 2005, 19:24

Bonsoir,

j'ai un probleme avec cette exercice :

Soit $\rm p_1,p_2,...,p_r$ nombres premiers ;
Montrez que l'entier $\rm N=p_1p_2...p_r+1$ n'est divisible par aucun des entiers $\rm p_i$

pouvez vous m'aidez ?
merci d'avance.
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Messagepar cerise » Dimanche 09 Octobre 2005, 19:37

Si $p_i$ divise $N$, alors $p_i$ divise 1, ce qui est manifestement faux :-)
Il fallait être Newton pour apercevoir que la Lune tombe quand tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas.
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Messagepar Tryphon » Dimanche 09 Octobre 2005, 22:24

Au passage, ce très beau raisonnement est une des démonstrations du théorème d'Euclide : l'ensemble des nombres premiers est infini.

En effet, supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1$, $p_2$, ..., $p_r$. Alors soit $N$ défini comme ci-dessus et soit $p$ un facteur premier de $N$. Alors l'exercice dit que $p$ n'est aucun des $p_i$, ce qui contredit l'hypothèse que les seuls premiers sont les $p_i$.
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Messagepar Kazik » Lundi 10 Octobre 2005, 19:15

Merci.
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