[TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

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[TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Messagepar Yumeno » Jeudi 10 Janvier 2008, 21:59

Bonsoir à tous !
Le problème de maths que j'ai à résoudre comporte pas mal de réflexion par rapport à des fonctions sans véritable support, puisque c'est assez littéral, et je n'aime pas du tout ça quand on traite de fonctions... C'est pour cela que j'ai besoin de votre aide ! Voici l'énoncé et quelques commentaires sur ce que j'ai déjà fait de l'exercice.

Le but de ce problème est de déterminer selon les valeurs de l'entier naturel non nul $n$, le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation (E) : $x^n = e^x$.
On note $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par $f_n(x) = x^ne^{-x}$ et $C_n$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$.

A. Etude d'une famille de fonctions
1. Dans cette question, $n = 1$. Dressez le tableau de variations de $f_1 : x \rightarrow xe^{-x}$ et construisez $C_1$. Ca, c'est fait.
2. Dans cette question, $n$ est supérieur ou égal à 2.
Etudiez les variations de $f_n$ ainsi que ses limites en $+ \infty$ et en $- \infty$ lorsque :
- $n$ est pair ;
- $n$ est impair.
Dans chaque cas, dressez le tableau de variations de la fonction $f_n$. Alors là, j'ai l'impression de me trouver devant un chemin sans fin. Entre $x$ négatif ou positif, $n$ pair ou impair... Je me dis qu'il y a une infinité de possibilités, je suis complètement perdu... A l'aide !
3. Comparez les positions relatives de $C_n$ et $C_{n+1}$ sur $[0 ; + \infty[$ et celles de $C_n$ et $C_{n+2}$ sur $]- \infty ; 0]$. Je pense que je devrais trouver une fois la question 2. résolue.

B. Résolution de l'équation (E)
1. Pourquoi l'équation (E) est-elle équivalente à $f_n(x) = 1$ ? C'est bon pour cette question.
2. A partir des tableaux de variations de la question A. 2., justifiez l'affirmation suivante : "déterminer le nombre de solutions de l'équation $f_n(x) = 1$ revient à comparer 1 et $f_n(n) = \dfrac{n^n}{e^n}$. Peut-être que ça irait mieux une fois la question mentionnée résolue, mais je n'en suis pas sûr du tout ! Vérifiez ensuite que $f_n(n) = e^{n ln(n) - n}$. Pour ça, c'est bon.
3. On note $g$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$ par : $g(x) = e^{x ln(x) - x}$. Etudiez les variations de $g$ ainsi que ses limites en $+ \infty$ et en zéro. Dressez le tableau de variations de $g$. C'est fait aussi.
4. Déterminez selon les valeurs de $n$, le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation (E). Alors ça, c'est le coup de grâce, si j'ose dire... Je ne vois pas du tout comment résoudre cette question à ce moment de l'exercice, et j'imagine qu'il faut de toute façon avoir résolu la question A. 2. qui me pose véritablement problème pour esquisser la réponse...

Voilà, désolé si c'est un peu long, mais j'ai pensé qu'il vous serait utile de voir comment l'exercice évoluait... En tout cas, je vous remercie d'avance pour votre aide ! Bonne soirée.
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Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Messagepar guiguiche » Jeudi 10 Janvier 2008, 22:27

A2. Pose $n=2k$ (cas pair) puis $n=2k+1$ (cas impair) pour l'étude des variations.
A3. Pas besoin de faire A2. Il suffit d'étudier le signe de $f_{n+1)(x)-f_n(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
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Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Messagepar Yumeno » Jeudi 10 Janvier 2008, 22:42

Merci pour votre réponse !

J'ai juste fait le cas pair pour ce soir.

En posant $n = 2k, k \in \N*$ ($n$ étant un entier naturel non nul), j'obtiens la fonction suivante : $f_n(x) = x^{2k}e^{-x}$. Je la dérive, et j'obtiens $f'_n(x) = e^{-x}x^{2k-1} (- x + 2k)$. L'exponentielle étant toujours strictement positive, cette dérivée s'annule si $x = 0$ ou si $x = 2k$. Ainsi, si $x \in ]- \infty ; 0]$, $2k-1$ étant impair, la dérivée est négative, donc la fonction $f_n$ décroissante sur cet intervalle. Entre $0$ et $2k$, elle est positive (les deux facteurs l'étant), la fonction $f_n$ est ainsi croissante, et sur $[2k ; + \infty]$, le facteur $(- x + 2k)$ étant négatif, la dérivée l'est aussi : la fonction $f_n$ est à nouveau décroissante.

Est-ce juste ?
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Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Messagepar guiguiche » Jeudi 10 Janvier 2008, 22:48

oui. reste les limites.
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Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Messagepar Yumeno » Jeudi 10 Janvier 2008, 22:51

Cela dépend du signe de $x$ : si $x$ est négatif et la puissance $n$ impaire, le résultat sera négatif... Merci beaucoup pour votre aide, elle m'a permis de bien avancer ! Bonne fin de soirée à vous.
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Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Messagepar guiguiche » Jeudi 10 Janvier 2008, 22:58

Bonne soirée à toi aussi.
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