Méthode de Hörner

[boobamane]

Bonsoir,
Dans un exercice, j'ai demandé aux élèves de me mettre la fonction sous la forme où , et sont des réels. Je m'attendais à ce qu'on me propose une résolution en utilisant la division euclidienne, ou la méthode d'identification des coefficients. A ma grande surprise, Voici ci-dessous ce qu'un apprenant a fait.

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import graph;
import patterns;
usepackage("amsmath");
unitsize(1.3 cm);
real labelscalefactor = 0.5;
pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps);
pen dotstyle = black;
real xmin = -3.5, xmax = 5.5, ymin = -3, ymax = 4;
add("hachures",hatch(H=3mm,dir=NE,blue));
filldraw((-1,1)--(1,1)--(1,0)--(-1,0)--cycle,pattern("hachures"));
label("$f(x)=\,\,\,\,\,\,x+\,\,\,\,\,\,+\dfrac{ }{x-\textbf{ }}$",(-0.46,-1.6),SE*labelscalefactor,fontsize(17));
label("$\textbf{3}$",(2.9,3.05),fontsize(17)+red);
label("$f(x)=\dfrac{2x^2-3x+5}{x-\textbf{ }}$",(-0.3,4),SE*labelscalefactor,fontsize(17));
label("$\textbf{3}$",(4.1,-2.15),fontsize(17)+red);
draw((-3,1)--(5,1), linewidth(1.2) + blue);
draw((-3,0)--(5,0), linewidth(1.2) + blue);
draw((-1,2)--(-1,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((1,2.)--(1,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((3,2)--(3,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((5,2)--(5,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((-1,2)--(5,2), linewidth(1.2) + blue);
draw((-1,-1)--(5,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((-3,1)--(-3,0), linewidth(1.2) + blue);
label("$\textbf{3}$",(-2,0.5),fontsize(28)+red);
label("$2$",(0,1.5),fontsize(28));
label("$\textbf{2}$",(0,-0.5),fontsize(28)+blue);
label("$-3$",(2,1.5),fontsize(28));
label("$5$",(4,1.5),fontsize(28));
label("$6$",(2,0.5),fontsize(28));
label("$9$",(4,0.5),fontsize(28));
label("$\textbf{3}$",(2,-0.5),fontsize(28)+blue);
label("$\textbf{14}$",(4,-0.5),fontsize(28)+blue);
label("$\textbf{2}$",(1.3,-1.85),fontsize(17)+blue);
label("$\textbf{3}$",(2.5,-1.85),fontsize(17)+blue);
label("$\textbf{14}$",(3.6,-1.5),fontsize(17)+blue);
draw((-1,1)--(1,1), blue);
draw((1,1)--(1,0), blue);
draw((1,0)--(-1,0), blue);
draw((-1,0)--(-1,1), blue);

Y a -t- il une généralisation de ce résultat à n'importe quel rapport de polynômes, quel que soit le degré?

[rebouxo]

C'est pas une division euclidienne ?

Olivier

[woodoo]

Pour utiliser le schéma de Horner, le dividende peut être de n'importe quel degré. Par contre le diviseur doit être de degré 1.
Donc dans le cas que tu as cité en exemple, cette méthode marche très bien .

[boobamane]

Bonsoir.
Merci pour la précision mais peut-on savoir d'où vient ce résultat?

[kojak]

Bonjour,

C'est une division euclidienne. Tu écris en posant et , tu développes et identifies les coeff et tu vas trouver ton joli tableau. de Horner.

[boobamane]

Merci!!!

[evariste_G]

Bonjour. J'ai fait un document sur ça : http://www.mathweb.fr/document,mathematiques_divers,Methode-de-Horner.html.

[kojak]

Bonjour,

@evariste : Dans ta schématisation, c'est plus zoli, je trouve, de le mettre sous forme de tableau comme proposé par boobamane

[evariste_G]

Bonjour,

@evariste : Dans ta schématisation, c'est plus zoli, je trouve, de le mettre sous forme de tableau comme proposé par boobamane

Le problème du tableau, c'est qu'il n'est pas explicite ... Les flèches permettent de voir "ce qui se passe" (en tout cas, c'est comme cela que je le vois, mais j'imagine que cela dépend des personnes). Ici, le côté esthétique m'importe peu (ou presque) ; ce que je voulais, c'est qu'un élève lambda visualise d'un coup d’œil ce qui se passe. Le tableau n'indique pas les opérations.

[boobamane]

Bonsoir,
Très original tout ça. Ce schéma fait apparaitre tous les calculs effectués donc c'est plus explicite.
Le document est très joli. Je te signale que j'utilise souvent le package pas-cours pour certains de mes documents.
Je vais imprimé le document et m'en servir de modèle pour l'année prochaine.
Merci.

[evariste_G]

Je viens de relire le document et j'ai fait quelques erreurs (concernant les indices des coefficients de Q). J'ai donc rectifié cela ... Il ne faut donc pas utiliser ce qui avait été mis en ligne avant aujourd'hui Désolé pour ces erreurs ...

[boobamane]

Bonsoir,
A evariste_G, le lien donné plus haut ne marche plus.
Merci de joindre le document.