Méthode de Hörner

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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Méthode de Hörner

Messagepar boobamane » Mardi 04 Juin 2013, 20:49

Bonsoir,
Dans un exercice, j'ai demandé aux élèves de me mettre la fonction $f(x)=\dfrac{2x^2-3x+5}{x-3}$ sous la forme $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$$a$, $b$ et $c$ sont des réels. Je m'attendais à ce qu'on me propose une résolution en utilisant la division euclidienne, ou la méthode d'identification des coefficients. A ma grande surprise, Voici ci-dessous ce qu'un apprenant a fait.

a45adc1f7264efabf433d28482b4575d.png

Code: Tout sélectionner
import graph;
import patterns;
usepackage("amsmath");
unitsize(1.3 cm);
real labelscalefactor = 0.5;
pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps);
pen dotstyle = black;
real xmin = -3.5, xmax = 5.5, ymin = -3, ymax = 4;
add("hachures",hatch(H=3mm,dir=NE,blue));
filldraw((-1,1)--(1,1)--(1,0)--(-1,0)--cycle,pattern("hachures"));
label("$f(x)=\,\,\,\,\,\,x+\,\,\,\,\,\,+\dfrac{ }{x-\textbf{ }}$",(-0.46,-1.6),SE*labelscalefactor,fontsize(17));
label("$\textbf{3}$",(2.9,3.05),fontsize(17)+red);
label("$f(x)=\dfrac{2x^2-3x+5}{x-\textbf{ }}$",(-0.3,4),SE*labelscalefactor,fontsize(17));
label("$\textbf{3}$",(4.1,-2.15),fontsize(17)+red);
draw((-3,1)--(5,1), linewidth(1.2) + blue);
draw((-3,0)--(5,0), linewidth(1.2) + blue);
draw((-1,2)--(-1,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((1,2.)--(1,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((3,2)--(3,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((5,2)--(5,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((-1,2)--(5,2), linewidth(1.2) + blue);
draw((-1,-1)--(5,-1), linewidth(1.2) + blue);
draw((-3,1)--(-3,0), linewidth(1.2) + blue);
label("$\textbf{3}$",(-2,0.5),fontsize(28)+red);
label("$2$",(0,1.5),fontsize(28));
label("$\textbf{2}$",(0,-0.5),fontsize(28)+blue);
label("$-3$",(2,1.5),fontsize(28));
label("$5$",(4,1.5),fontsize(28));
label("$6$",(2,0.5),fontsize(28));
label("$9$",(4,0.5),fontsize(28));
label("$\textbf{3}$",(2,-0.5),fontsize(28)+blue);
label("$\textbf{14}$",(4,-0.5),fontsize(28)+blue);
label("$\textbf{2}$",(1.3,-1.85),fontsize(17)+blue);
label("$\textbf{3}$",(2.5,-1.85),fontsize(17)+blue);
label("$\textbf{14}$",(3.6,-1.5),fontsize(17)+blue);
draw((-1,1)--(1,1), blue);
draw((1,1)--(1,0), blue);
draw((1,0)--(-1,0), blue);
draw((-1,0)--(-1,1), blue);


Y a -t- il une généralisation de ce résultat à n'importe quel rapport de polynômes, quel que soit le degré?
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar rebouxo » Mardi 04 Juin 2013, 21:27

C'est pas une division euclidienne ?

Olivier
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar woodoo » Mardi 04 Juin 2013, 22:13

Pour utiliser le schéma de Horner, le dividende peut être de n'importe quel degré. Par contre le diviseur doit être de degré 1.
Donc dans le cas que tu as cité en exemple, cette méthode marche très bien :).
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar boobamane » Mercredi 05 Juin 2013, 20:53

Bonsoir.
Merci pour la précision mais peut-on savoir d'où vient ce résultat?
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar kojak » Jeudi 06 Juin 2013, 06:58

Bonjour,

C'est une division euclidienne. Tu écris $P(X)=(X-x_0)Q(X)+P(x_0)$ en posant $\ds P = \sum_{k\leq n} p_k X^k$ et $Q=\ds \sum_{k\leq n-1} q_k X^k$, tu développes et identifies les coeff et tu vas trouver ton joli tableau. de Horner.
pas d'aide par MP
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar boobamane » Mardi 11 Juin 2013, 18:27

Merci!!!
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar evariste_G » Mercredi 12 Juin 2013, 09:22

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Re: Méthode de Hörner

Messagepar kojak » Mercredi 12 Juin 2013, 14:30

Bonjour,

@evariste : Dans ta schématisation, c'est plus zoli, je trouve, de le mettre sous forme de tableau comme proposé par boobamane
pas d'aide par MP
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar evariste_G » Jeudi 13 Juin 2013, 11:05

kojak a écrit:Bonjour,

@evariste : Dans ta schématisation, c'est plus zoli, je trouve, de le mettre sous forme de tableau comme proposé par boobamane


Le problème du tableau, c'est qu'il n'est pas explicite ... Les flèches permettent de voir "ce qui se passe" (en tout cas, c'est comme cela que je le vois, mais j'imagine que cela dépend des personnes). Ici, le côté esthétique m'importe peu (ou presque) ; ce que je voulais, c'est qu'un élève lambda visualise d'un coup d’œil ce qui se passe. Le tableau n'indique pas les opérations.
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar boobamane » Jeudi 13 Juin 2013, 20:45

Bonsoir,
Très original tout ça. Ce schéma fait apparaitre tous les calculs effectués donc c'est plus explicite.
Le document est très joli. Je te signale que j'utilise souvent le package pas-cours pour certains de mes documents.
Je vais imprimé le document et m'en servir de modèle pour l'année prochaine.
Merci.
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar evariste_G » Vendredi 14 Juin 2013, 09:41

Je viens de relire le document et j'ai fait quelques erreurs (concernant les indices des coefficients de Q). J'ai donc rectifié cela ... Il ne faut donc pas utiliser ce qui avait été mis en ligne avant aujourd'hui :D Désolé pour ces erreurs ...
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Re: Méthode de Hörner

Messagepar boobamane » Lundi 25 Janvier 2016, 00:12

Bonsoir,
A evariste_G, le lien donné plus haut ne marche plus.
Merci de joindre le document.
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