[Term] Maths, spécialité, arithmétique

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[Term] Maths, spécialité, arithmétique

Messagepar Kazik » Vendredi 07 Octobre 2005, 23:20

Bonsoir à tous,

j'ai un probleme avec cet exercice :
Démontrer que si $\rm 7|(a^2+b^2)$ alors $\rm 7|a$ et $\rm 7|b$

pouvez vous m'aidez ?
merci d'avance.
Kazik
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Messagepar nirosis » Samedi 08 Octobre 2005, 11:34

Voilà juste une solution à laquelle j'ai pensé, je sais pas si c'est exact... car c'est un peu de calculs.

On écrit :

$a=7*q+r$ avec $r<7$ et $b=7*q'+r'$ avec $r'<7$ ($q\ne 0$ et $q'\ne 0$). Supposons $r'\ne 0$ et $r\ne 0$.

dès lors $a^2+b^2=49(q^2+q'^2) +14*(qr+q'r')+r^2+r'^2= 7*k$ d'après l'hypothèse. (k entier)

On a donc un poylnôme de degré 2 avec 7 comme solution.
<center>$7^2(q^2+q'^2) +7*2*(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)+r^2+r'^2=0$</center>

il est facile de voir que 7 est la plus grande racine.
Elle s'écrit : $s1 = 7 = \frac{-(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)+\sqrt{\Delta}}{q^2+q'^2}$

D'où : $\sqrt{\Delta}= 7(q^2+q'^2)+qr+q'r'-\frac{1}{2}k$

La deuxième solution s'écrit : $s2 = \frac{ -2(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)-7(q^2+q'^2)}{q^2+q'^2}$ et il est très important de noter que sous-nos hypothèses $s2>0$.

Par relation sur le produit des racines : $r^2+r'^2=(q^2+q'^2)*7*s2$
Ce qui vaut : $r^2+r'^2=7*(-2(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)-7(q^2+q'^2))$

Par la relation sur la somme des racines cette fois, on obtient (ptit calcul à faire) :
$-2(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)>2*7(q^2+q'^2)>4*7$ car $(q^2+q'^2)>1$.

Donc au final, $(-2(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)-7(q^2+q'^2))>3*7$

Ce qui donne : $r^2+r'^2>3*7^2$

Contradiction.

Voilà, il y a surement qq fautes au passage, mais l'idée globale doit être valable !?
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Messagepar Tryphon » Dimanche 09 Octobre 2005, 22:21

Moi j'aurais plutôt fait un tableau de 7 lignes et 7 colonnes, chacunes numérotées de 0 à 6, et dans l'intersection de la colonne $a$ et de la ligne $b$ j'aurais mis le résultat de $a^2+b^2$ modulo 7. Ca m'aurait fait remplir 25 cases (et non 49, vu que le résultat en $(a,b)$ est le même qu'en $(b,a)$). Puis j'aurais certainement remarqué que le seul 0 a lieu pour $a=0$ et $b=0$.

Cela dit, je n'ai pas lu ta solution. Mais je serais étonné qu'elle soit valable. Déjà, dans ton polynôme de degré 2, quelle est l'inconnue ?
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Messagepar nirosis » Lundi 10 Octobre 2005, 10:25

Le polynôme est le suivant : $x^2(q^2+q'^2) +2*(qr+q'r'-\frac{1}{2}k)*x+r^2+r'^2$

Il s'annule pour $x=7$ ...
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Messagepar Kazik » Lundi 10 Octobre 2005, 19:15

Merci.
J'ai opté pour ce qu'a dit Typhon...
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Messagepar nirosis » Lundi 10 Octobre 2005, 19:45

T'as raison, c'est bien plus simple :)
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Messagepar Kazik » Lundi 10 Octobre 2005, 20:45

nirosis a écrit:T'as raison, c'est bien plus simple :)


Sur !
... mais sans vouloir vous offenser bien sur parce que rediger tout ceci en latex ... dsl :oops:
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Messagepar nirosis » Mardi 11 Octobre 2005, 10:53

Mais non, si je l'ai fait, c'est parce-que je le voulais bien :) et puis le latex, ça reste rapide à taper qd on est habitué ! tu verras un jour :wink:
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Re: [Term] Maths, spécialité, arithmétique

Messagepar Arthur Accroc » Mardi 18 Octobre 2005, 20:08

Kazik a écrit:Bonsoir à tous,

j'ai un probleme avec cet exercice :
Démontrer que si $\rm 7|(a^2+b^2)$ alors $\rm 7|a$ et $\rm 7|b$

pouvez vous m'aidez ?
merci d'avance.


Y'a pas un truc avec le fait que $-1$ n'est pas un carré dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$ qui est un corps ? Si cette équation avait, modulo 7, une autre solution que (0,0), alors, par division par $b^2$, on en déduirait que l'équation $r^2=-1(7)$ a une solution, ce qui n'est pas le cas.

Du coup, mon tableau à moi ne fait plus que 7 cases, ou 5 si on élimine les cases 0 et 1 qui ne peuvent être solutions ;-) Et même, si on se souvient que le noyau de l'application $z\mapsto z^2$ est $\{-1,1\}$, il suffit de tester 1, 2 et 3 puisqu'on atteint ainsi tous les carrés de $(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\ast$.
\bye

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